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Natiin\-isen.sc]iaftliche Wochenschrift. 



Nr. S. 



fttert worden i>t. Her obere Schnabel ist fast ganz 

 verkmmert, so dass eine Selbsternhrung auch hier ganz 

 ausgeschlossen erscheint, wie Fig. '< in natrliche)- Grsse 

 veranschaulicht. 



Spter im Dezember erliielt ich von meinem Bruder 

 aus Andernach eine Saatkrhe (Corvus frugilegus L.) zu- 

 geschickt, deren Kopf in natrlichei' Grsse in Fig. / 

 abgebildet ist. Hier erscheint der Oberschnabel 1 ^ 2 cn> 



ber den untenan herabgebogen, der untere aber gegen 

 den oberen linksseitig kahnfrmig heraufgebog'en, so dass 

 zwischen beiden eine rechtsseitig 1 mm, linksseitig 2 mm 

 weite nach vorn und hinten spitz zulaufende Oetfnung 

 sich befindet. Allem Anscheine nach war auch diese 

 '< Krhe nicht im Standr-, sich selbst zu ernhren und er- 

 ! hielt ihre Nahrung ebenfalls von einer anderen zugetragen. 



Ueber den sogenannten vierdimensionalen Raum. 



Von Dr. V. Schlegel. 

 (Fortsetzung) 



Gleichwohl Ijraucht man das eben beschriebene Ver- 

 fahren nur von der berflssigen und strenden Zuthat 

 dessen zu befreien, was die vierte Dimension ersetzen 

 soll, um ein auf dem Boden der reinen Mathematik 

 >vurzelndes Anschauungsmittel zu erlangen, welches alles 

 das leistet, was man Mer der Natur der Sache nach 

 berhaupt von einem solchen verlangen kann. Es ist 

 bei'eits hervorgehoben worden, wie eine ebene Zeichnung 

 sehr wohl als Abbildung eines gewhnlichen Krpers 

 gelten kann, wobei zwai' eine Dimension verloren geht. 

 aber durch unser Yorstellungsvermgen wieder hineinge- 

 tragen wird. Das Verfahren, durch welches eine solche 

 Zeichnung zu stnde kommt, ist die Projektion, ber 

 deren Begriff hier wohl nichts errtert zu wei'den brauc-ht. 

 Nehmen wir nun die schon oben erwhnte Zeichnung 

 des Wrfels wieder vor, nur mit dem Unterschiede, dass 

 der Wrfel jetzt als durchsichtig gelten soll, wodurch 

 also smtliche Ecken und Kauten in der Zeichnung zum 

 Vorschein kommen. Gesetzt, es sei jemand, der diese 

 Zeichnung betrachtet, nicht im stnde, sie als Abbildung 

 eines Krpers zu erkennen, indem sein rumliches Vor- 

 stellungsvermgen ihn lerbei im Stich Hesse. *) Er wird 

 gleichwohl, wenn er wenigstens weiss, was sie vorstellt, 

 aus der Zahl der Ecken, Kanten und Flchen, und der 

 Art ihier Verteilung aneinander im stnde sein, allerlei 

 Angaben ber den Krper zu machen, und so von der 

 Figiu- Nutzen zu ziehen. Werden, wie es in der dar- 

 stellenden Geometrie geschieht, in gesetzmssiger Weise 

 zwei oder drei solcher Projektionszeichnuugen hergestellt, 

 so knnen dieselben sogar berhaupt zur wissenschaft- 

 llcheu Erforschung der Eigenschaften des dargestellten 

 Krpers benutzt werden. In ganz entsprechender Weise 

 kann nun auch von einem vierdimensionalen Gebilde, 

 namentlich wenn es von gewhnlichen, ebenflchigen 

 Krpern begrenzt ist, eine Projektion im dreidimensionalen 

 Rume hergestellt werden. Wie bei der gewhnlichen 

 ebenen Projektionszeichnung eines Krpers, so werden 

 auch bei der Hei'stellung der Projektion eines vierdimen- 

 sionalen Gebildes nur die Kanten, und zwar dui-ch Drhte, 

 resp. Fden zui' Darstellung gebracht, so dass die Pro- 

 jektion sich als ein rumliches Liniennetz darstellt. Auf 



*) Dies kann auch einem gebteren Beobachter leicht begegnen, 

 wenn die Zeichnung den Krper in einer ungewohnten Stellung zeigt. 



diese Weise hat z. B. der Verfa.ssei- die oben erwhnten 

 regelms.sigen Krper des vierdimensionalen Raumes zur 

 Anschauung gebracht. Das einfachste dieser Projektions- 

 modelle besteht aus einem Draht-Tetraeder, in ^\'elchem 

 ein innerer Punkt durch Fden mit den vier Ecken ver- 

 bunden ist. Wie es nun berhaupt mglich ist, von 

 Gebilden, die man sich nicht einmal vorstellen kann, 

 erstens die theoretische Existenz zu beweisen, und zweitens 

 zuverlssige Projektionen dei'selben herzustellen, diese 

 Frage kann in dem Rume dieses Aufsatzes nicht be- 

 antwortet werden, wrde auch zu sehi' in das specielle 

 Gebiet der Mathematik hinbergreifen. Es ist im all- 

 gemeinen von diesen rumlichen Projektionsgebilden nur 

 noch zu sagen, dass genau so, wie bei den oben be- 

 schriebenen Projektionszeichnungen, eine Dimension des 

 dargestellten Gebildes verloren geht, dass aber diese 

 Dimension nicht durch unser rumliches Vorstellungs- 

 vermgen ersetzt werden kann, weil uns eben dieses 

 Vermgen hinsichtlich der vierten Dimension im Stich 

 lsst. Sie leisten also dem Beobachter dieselben Dienste 

 wie jene Zeichnungen, vorausgesetzt, dass die letzteren 

 vom Verstnde als richtige Abbildungen begrien, vom 

 Auge aber nicht als solche erkannt Averden. 



Die im Vorstehenden gelegentlich mitgeteilten Proben 

 Aierdimensionaler Gebilde knnen als Bausteine zu einer 

 Geometrie des vierdimensionalen Raumes angesehen werden. 

 Und nachdem wir in der Projektion dieser Gebilde auf 

 den dreidimensionalen Raum auch ein Hilfsmittel der 

 Anschauung gewonnen haben, wie wir es in analoger 

 Weise auch in der Stei'eometrie benutzen, wenn wir ebene 

 Zeichnungen der betrachteten Raumgebilde anfertigen, so 

 sehen wir, dass die wissenschaftliche Entwickelung einer 

 solchen vierdimensionalen Geometrie keineswegs ausser 

 dem Bereich der Mglichkeit liegt. Thatsclich ist auch 

 in den letzten beiden Jahrzehnten auf diesem Gebiete 

 nach allen Richtungen, sowohl in niederer wie in hherer 

 Geometrie, so vieles geleistet worden, dass der Abschluss 

 wenigstens der elementaren Geometrie des viei'dimen- 

 sionalen Raumes nicht mehr fern zu liegen scheint. 



Diese Zukunftsgeometrie" wird allerdings mangels 

 jeder Anwendbaikeit auf Verhltnisse der Wirklichkeit 

 niemals die Wichtigkeit und Bedeutung der Geometrie 

 der Ebene und des Raumes erlangen, und auch in ihi'er 



