Nr. 8. 



Natui'wissi'iiscliartlielii' Woclieiisclirif't. 



Kigensehaft als loiniales liilclunirsmittel unseren chulen 

 fernbleiben, fs ni^stc d''nn sein, dass in einei- knt'tiiien 

 (ieneration die Mntlastun,' von unmodernem Lehrstoff 

 eine norli un.-eahnte Steigerung des \'orstellungs- und 

 Abstraktions\erni()gens zur Folge htte. 



Dahingegen ist der rein wissenscliat'tiiche Nutzen 

 dei- geometrischen Betrachtungen und Resultate auf vier- 

 wie auf mehrdimensionalem (Jebiete keineswegs gering 

 anzuschlagen. Denn nicht nur wiid der Zusammenliang 

 analoger Wahrheiten in den (Tebieten dei' geraden Linie, 

 dci' Kiiene und des gewhnlichen Kauiiu's besser be- 

 iiritfen, wenn wir diese Gebiete als Anfangsglieder einer 

 ganzen Keihe von (iebieten kennen lernen; wir vermgen 

 aucli aus Resultaten der melu'dimensionalen Geometrie durch 

 Specialisieiung und andere Mittel neue Wahrheiten der ge- 

 whnliclien Geometrie abzuleiten, zu denen ein andererWeg 

 n\u- schwer aufzutinden wre. Dazu kommt, dass jede Fort- 

 entwickelung eines Zweiges der nwthematischen Wissen- 

 schaft auch auf andeie Zweige befiuchtend und frdernd 

 einwirkt, die mit jenem, sei es als Anwendungsgebiete, sei 

 es als Hilfswis-senschaften, zusammenhngen. 



Ans dem, was wir bisher bei' den vierdimensionalen 

 Raum gesagt liaben, ist nun wolil ersichtlich, dass er das 

 Interesse des Mathematikers erregen kann; allein die 

 weite Verbreitung, welclie wenigstens die Kenntnis seines 

 Namens im gi'sseren Publikum eilangt hat, wide sich 

 hieraus noch lange nicht erklren. Denn naturgemss sind 

 es niclit die Resultate der reinen Wissenschaft, sondern 

 erst ihre Anwendungen auf Verhltnisse der Wirklich- 

 keit, welclie die Aufmerksamkeit weiterer Kreise auf sich 

 zielien. Und es ist vorhin ausdrcklich betont worden, 

 wie sehr gerade die vieidimensionale Geometrie von 

 ] iraktischen Anwendungen entfernt ist. Wie nun trotz- 

 dem der Begriff des vieidimensionalen Raumes mit ge- 

 wissen Problemen, die uns im Weltrume begegnen, 

 theoretisch zusanuiienhngt, diesei' Fi'age wollen wii- im 

 Folgenden nher tiefen. 



Zimchst giebt es Probleme der ebenen Geometiie, 

 die sich nicht in der Ebene allein erledigen lassen, sondern 

 nur unter Zuhilfenahme des di'eidimensionalen Raumes. 

 Legen wir z. P. zwei einseitig schwarz gefrbte ]-'apier- 

 bltter so auf einander, dass die schwarzen Seiten oben 

 liegen, schneiden gleichzeitig aus beiden ein ungleich- 

 seitiges Dreieck aus, und legen dann diese beiden Drei- 

 ecke, die schwarzen Seiten wieder nach oben gewendet, 

 auf eine Ebene, so knnen dieselben durch einfaches 

 Verschieben in der Ebene zu vollstndige]- Deckung ge- 

 bracht werden. Man nennt sie in diesem Falle kon- 

 gruent. Lagen dagegen die Pajjierbltter etwa so auf- 

 einander, dass die schwarzen Seiten einander von innen 

 berhilen, so knnen die beiden (in diesem Falle sym- 

 metrisch genannten) Dreiecke, wenn sie ebenso wie oben 

 auf die Ebene gebracht worden sind, nicht mehr durch 

 blosse Verschiebung zur Deckung gelangen. Man muss 

 vielmehr das eine derselben vorher so umklappen, dass 

 die weisse Seite oben liegt, und diese Umklappung ist 



nur dadurch mglich, dass das Dreieck aus der Ebene 

 in den Raum hinaus gebracht, dort umgewendet, und 

 endlich wieder in die Ebene zurckversetzt wird. 

 Eine ganz analoge Anfgabe bietet der Raum selbst. 

 Ziehen wir nmlich auf den weissen Seiten zweier Rapier- 

 bltter der vorigen Art von einem Punkte des Randes 

 aus zwei Linien, welche mit dem Rande auf beiden 

 Blttern gleiche Winkel bilden, falten dann beide Bltter 

 lngs dieser Linien so, dass die schwarzen Flchen nach 

 aussen kouunen, und befestigen die offenen Rnder jedes 

 Blattes aneinander, so entstehen z\\ei kongiueute drei- 

 seitige E(;ken, die so in einander geschoben werden 

 knnen, dass Scheitelpunkte, Kanten und Flchen der 

 einen sich mit denen der andern vollstndig decken. 

 Faltet man dagegen das eine der beiden Bltter lngs 

 derselben Linien so, dass die weisse Flche nach aussen 

 kommt, so sind die beiden Ecken symmetrisch, d. h. sie 

 lassen sich trotz Gleichheit allei' ihier Winkel nicht mehr 

 in einander schieben. Man schliesst nun durch Analogie 

 wie folgt: Geiade so, wie eins von zwei symmetrischen 

 Dreiecken dadurch zui- Deckung mit dem andern gebracht 

 werden kann, dass man es erst aus der gemeinschaft- 

 lichen Ebene herausnimmt, in den dreidimensionalen Raum 

 bringt, dort umkehrt (d. h. Ober- und Unterseite ver- 

 tauscht) und dann wieder in die Ebene zurcktransportiert, 

 geradeso knnten wir, wenn uns ein vierdimensionaler 

 Raum zur Verfgung stnde, und die Mglichkeit, Gegen- 

 stnde in denselben hinein zu veisetzen, gegeben wre; 

 die eine von zwei sjTiimetrischen Ecken erst aus unserem 

 Weltrume in diesen vierdimensionalen Raum bringen, 

 dort umkehren (d. h. Innen- und Aussenseite vertauschen) 

 und dann in unseren Raum zurckbiingen, worauf die 

 Deckung der beiden Ecken durch Ineinandeischieben 

 gelingen wrde. Diese Operation wrde mglich sein, 

 ohne irgendwie die Gestalt der Ecke zu ndern und 

 nachtrglich wieder herzustellen. Wenn freilich dieses 

 letztere Verfahren zugestanden wird, dann kann eine 

 solche Papierecke, selbst ohne den Zusammenhang ihrer 

 Oberflche zu zerstren, auch im gewhnlichen Rume 

 umgekehlt werden. Sehr nahe liegt hier der Vergleich 

 der beiden symmetrischen Ecken mit einem Handschuh- 

 paar, dessen ebenfalls sjTmnetrisch gestaltete Glieder 

 dadurch kongruent gemacht werden knnen, dass man 

 durch Umkehrung die Innenseite des einen zur Aussen- 

 seite, und so z. B. aus dem linken Handschuh einen 

 zweiten rechten macht. Ein geschickter Taschenspieler 

 knnte, indem er den linken Handschuh verschwinden 

 lsst, und dann statt desselben einen zweiten rechten 

 produziert, uns glauben machen, er habe die Umkehrung 

 auf die vorher beschriebene Weise im vierdimensionalen 

 Rume vollzogen oder vollziehen lassen, wohin unser 

 Blick natrlich nicht reicht. Alles selbstverstndlich unter 

 der Voraussetzung, dass wii- entweder den Glauben an 

 die wirkliche Existenz des vierdimensionalen Raumes schon 

 mitbringen, oder durch dieses Experiment uns in diesen 

 Glauben versetzen lassen. Theoretisch wre unter dieser 



