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Naturwissen.-icliaftlicliP Wochenschrift. 



Nr. S. 



Toraiissetzuiig- nichts gegen die voi'gebraclite Erklrung 

 einzuwenden. 



Ein anderes Beispiel. Zeichnen wir einen Kreis 

 auf der Ebene, setzen die Spitze der Feder, die uns 

 einen Punkt bedeuten soll, in das Innere des Kreises, 

 und lassen, indem wir die Spitze der Fedei' auf dem 

 Papier \'orwrts rcken lassen, diesen Punkt sich bewegen. 

 Wollen wir den Punkt aus dem Innei'n des Kreises 

 herausbringen, ohne dass er die Ebene verlassen soll, so 

 rau-ss er notliwendig irgendwo die Kreislinie passieren, 

 d. h. die Spitze der Feder muss die Kreislinie kreuzen. 

 Heben wir aber die Feder vorher auf und setzen ihre 

 Spitze ausserhalb der Kreisflche auf dem Papier nieder, 

 so ist Unser Punkt von innen nach aussen gekommen, 

 ohne die Kreislinie zu passieren, er hat dieselbe offenbar 

 dadurch umgangen, dass er sich aus der Ebene in den 

 Raum hinausbewegte, um nach erfolgter Umgelunig in 

 die Ebene zurckzukehren. Dabei ist zu beachten, dass 

 der Uebergang in den Raum an jeder beliebigen Stelle 

 der Kreisflche erfolgen kann, und dass dei' Punkt fr 

 ein Auge, welches ihn nur in der Ebene sucht, so lange 

 verschwindet, als er ausserhalb derselben im Rume ver- 

 weilt. Denken wir uns jetzt eine vollstndig geschlossene 

 hohle Glaskugel, und innerhalb derselben einen beweg- 

 lichen Punkt; derselbe mag durch ein Schi'otkorn dar- 

 gestellt sein. Offenbar kann diesei' l*unkt aus dem von 

 der Kugelflche eingeschlossenen Rume nur dadurch 

 nach aussen kommen, dass die Kugelflche irgendwo 

 durchbrochen wird. Htten wir aber einen vierdimen- 

 sionalen Raum, so wrden wh' dieselbe Wirkung ohne 

 Verletzung der Kugelflche erzielen knnen, wenn wir 

 den l'unkt da. wo wir ihu gerade vorfnden, in den 

 vierdimensionalen Raum versetzten, ihn hier die Kugel- 

 flche umgehen lies'sen, und ihn endlich ausserhalb der- 

 selben irgendwo in den gewhnlichen Raum zurckver- 

 setzten. Ohne Schwierigkeit ist liieraus das Receipt zu 

 entnehmen, nach welchem de)- Taschenspieler, der uns 

 dieses Wunder vorfhi-en will, zu verfahren hat, indem 

 er nmlich zwei usserlich ganz gleiche Kugeln, von 

 denen die eine das Schrotkorn enthlt, mit einander 

 \'erwechselt. 



Eine dritte, sehr bekannt gewordene und viel- 

 umstrittene Aufgabe mge als letztes Beispiel dienen. 

 Man kann in einem mit zwei offenen Enden versehenen 

 Stck Band eine einfache Sclinge oder einen Knoten 

 anbringen, und ebenso diese Gebilde wieder auflsen. 

 Sind dagegen die beiden Enden an einander befestigt, 

 so dass das Band die Gestalt einer geschlossenen oder 

 in sich zurckkehrenden Linie hat, so ist weder das eine 

 noch das andere mglich. Auch diese, im di'eidimen- 

 sioualen Rume unlsbaren Aufgaben knnten, natrlich 

 ohne die Geschlossenheit des Randes aufzuheben, oder 

 sonst hgendwie den Kern der Aufgabe zu umgehen, im 

 vierdimensionalen Rume gelst werden, und das in den 

 Weltraum zurck\'ersetzte Band wi'de im ersten Falle 



mit dei- Schlinge versehen, im zweiten von derselben 

 befreit, wieder in die Erscheinung treten. Dei' Beweis 

 fr die theoretische Richtigkeit dieser Behauptung ist 

 auf streng mathematischem Wege erbracht worden, und 

 jeder Mathematiker kann sich ohne Schwierigkeit durch 

 Verfolgung der gar nicht weitluftigen, allerdings ler 

 nicht mitteilbaren Rechnung davon berzeugen. Auch 

 sonst hlt es eben nicht schwer, mancherlei im gewhn- 

 lichen Rume unlsbare Raumprobleme anzugeben, die 

 unter Zuhilfenahme des vierdimensionalen Raumes ihre 

 Erledigung flnden wrden. 



Aber ebenso leicht ist auch einzusehen, dass alle 

 diese Lsungen nur in der geometrischen Phantasie be- 

 stehen knnen. Dort freilich sind sie gleichwertig mit 

 zahllosen anderen Konstruktionen und Lsungen von 

 Aufgaben, die man eben auch nur in Gedanken ausfhrt, 

 wie (um nur einige ganz einfache Beispiele anzufhren) 

 das Legen einer Ebene durch drei ] 'unkte des Raumes, 

 die Konstruktion einer Kugelflche mit gegebenem Radius 

 aus einem Punkte des Raumes. Ja selbst unsere Zeich- 

 nungen von Linien und Figuren auf einer Ebene ent- 

 sprechen ja keineswegs genau den reinen geometrischen 

 Konstruktionen unserer Phantasie, sondern sind nur mehr 

 oder wenigei- grobe Verauschaiichungsmittel fr das Auge. 

 Und der einzige Unterschied zwischen den eben genannten 

 Arten von Konstruktionen und denjenigen, welche den 

 vierdimensionalen Raum zu Hilfe nehmen, besteht darin, 

 dass wir uns die letzteren eben nicht vorzustellen und 

 daher auch nicht, ihrer richtigen Beschaffenheit ent- 

 sprechend, zu veranschaulichen im Stande sind. Indem 

 wir nun insbesondere die mathematischen Gesetze, welche 

 wir an den von uns ausgedachten und durch Zeichnungen 

 oder Modelle veranschaulicliten Krperformen entdecken, 

 in der uns umgebenden Krperwelt \er^virklicht und 

 besttigt finden, so geben auch umgekehrt die noch un- 

 erklrten Erscheinungen dieser Krperwelt uns Anlass, 

 verborgenen mathematischen Gesetzen nachzuspren, und 

 j ebenso veranlassen uns Aufgaben, welche A\irklich vor- 

 handene Kr])er aller Art betreflen, die Lsungen dieser 

 Aufgaben an den entsprechenden mathematischen, d. h. 

 gedachten Krpern auf mathematischem Wege zu suchen. 

 SoU nun eine so gefundene Lsung in die Wirklichkeit 

 umgesetzt, d. h. an wirklich vorhandenen Krpein aus- 

 gefhrt werden, so ist es eine unerlssliche Voraus- 

 setzung, dass dazu nur das uns allein zugngliche Gebiet 

 des Weltraums in Anspruch genommen wird. Reicht 

 dieses Gebiet zur Lsung einer solchen i iraktischen Auf- 

 gabe nicht aus, muss vielmehi- der vierdimensionale Raum 

 dazu herangezogen werden, so ist die Aufgabe eine fr 

 uns absolut unlsbare. Werden dennoch vor unseren 

 Augen solche im \^'eltraum unlsbai'e Aufgaben, wie die 

 oben beschriebenen, gelst, so handelt es sich eben um 

 eine Tuschung unserer Gesichtswahrnehmung, d. h. um 

 ein mehr oder weniger interessantes Taschenspieler- 

 kunststck. (Scliluss folgt.) 



