Nr. 48. 1903. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XVm. Jahrg. 611 



ter als der Gebrauch mechanischer Sätze beim Pro- 

 jektieren einer Maschinenanlage. Trotzdem liegen 

 auf dem letzteren Gebiete die tieferen Probleme: Die 

 elastischen Beanspruchungen der Maschinenteile sind 

 vielseitiger und im allgemeinen kühner wie die Be- 

 anspruchungen der Teile einer Baukonstruktion ; außer- 

 dem tritt hier erst die volle Mechanik, d. h. die Dy- 

 namik, in ihr Recht. 



Unter den theoretischen Methoden des Bauingenieur- 

 wesens nimmt in neuerer Zeit der Begriff der Form- 

 änderungsarbeit eine führende Stellung ein. So 

 wie der Arbeitsbegriff durch das Prinzip der virtuel- 

 len Arbeit, welches gewöhnlich unter dem weniger 

 bezeichnenden Namen des Prinzips der virtuellen 

 Verrückungen oder Geschwindigkeiten geht, die Statik 

 überhaupt beherrscht, so gestattet er insbesondere, 

 der Statik elastischer Medien ihre einfachste Form 

 zu geben , sobald man den Ausdruck für die Arbeit 

 der elastischen Kräfte in geeigneter Weise gebildet 

 hat. Es handelt sich hierbei namentlich um den glän- 

 zenden Satz vom Minimum der Formänderungs- 

 arbeit. Mit Fug und Recht verewigt dieser Satz 

 den Namen des italienischen Ingenieurs Castigliano; 

 dem Verdienste deutscher Forscher, wie Mohr, Frän- 

 kel und Müller-Breslau, welche zum Teil früher 

 und unabhängig von Castigliano ähnliche Theo- 

 reme ausgesprochen haben, soll dadurch kein Ab- 

 bruch getan werden. 



Den Inhalt des Castiglianoschen Minimum- 

 prinzips möchte ich hier an einem möglichst einfachen 

 und naheliegenden Beispiel erläutern: Ein Tisch 

 auf drei Beinen ist statisch bestimmt, d. h. man 

 kann schon allein nach den Regeln der gewöhnlichen 

 Statik starrer Körper ermitteln, wie sich die auf den 

 Tisch wirkende Last, einschließlich seiner Eigenlast, 

 auf die drei Beine des Tisches verteilt. Der Tisch 

 auf vier Beinen dagegen ist statisch unbestimmt. 

 Wir können uns nämlich durch eines der vier Beine 

 eine beliebige Kraft x übertragen denken und kön- 

 nen alsdann für die. übrigen Beine solche Kräfte be- 

 rechnen, welche sich mit jener Kraft X und mit den 

 auf den Tisch wirkenden Lasten das Gleichgewicht 

 halten. Es würde hiernach unendlich viele Möglich- 

 keiten des Gleichgewichts geben. Wie wählt nun die 

 Natur zwischen diesen unendlich vielen möglichen 

 Kraftsystemen aus? Darauf antwortet uns der Gas ti- 

 glianosche Minimumsatz: Die Natur bevorzugt 

 diejenige Wahl, bei welcher sie mit einem 

 geringsten Aufwände an Formänderungs- 

 arbeit auskommt. Nimmt man etwa noch an, daß 

 die Tischplatte verhältnismäßig wenig nachgiebig ist, 

 so steckt die gesamte Formänderungsarbeit in den 

 Beinen des Tisches, welche durch die gegebenen 

 Lasten und die vom Boden übertragenen Gegenkräfte 

 im allgemeinen auf Druck beansprucht werden. Da 

 unsere Kraft x die einzige Unbekannte ist, da wir 

 nämlich die durch die anderen Beine übertragenen 

 Kräfte bereits durch die Kraft x und die äußeren 

 Lasten ausgedrückt haben , so wird die Formände- 

 rungsarbeit eine ganz bestimmte, und zwar quadra- 



tische Funktion jener Unbekannten. Die Bedingung 

 des Minimums führt daher auf eine lineare Gleichung 

 für diese Unbekannte. 



Ich kann mir kaum ein übersichtlicheres und ein- 

 leuchtenderes Verfahren zur Lösung eines mechani- 

 schen Problems denken. Die Übersichtlichkeit leidet 

 nicht, wenn wir statt unseres sehr speziellen Systems 

 ein beliebiges Stabsystem, z. B. eine Brücke mit über- 

 zähligen Stäben oder überzähligen Auflagern, betrach- 

 ten, oder wenn an die Stelle eines Stabsystems ein be- 

 liebiger und beliebig beanspruchter elastischer Körper 

 tritt. Statt einer haben wir dann eventuell mehrere 

 lineare Gleichungen zur Berechnung der Unbekann- 

 ten. Daß es auch möglich ist, die Verrückungen der 

 Knotenpunkte eines Fachwerkes, die Durchbiegung 

 eines Balkens , die Torsion einer Welle , kurz die 

 jedesmal in Frage kommenden elastischen Formände- 

 rungsgrößen aus dem Arbeitsausdrucke zu berechnen, 

 möge hier nur kurz erwähnt werden. 



Aus dem weiten Gebiet der Elastizität möchte ich 

 noch ein besonderes, ziemlich junges Problem hervor- 

 heben , das der Berührung fester elastischer 

 Körper. Heinrich Hertz hat, bevor er sein großes 

 Lebenswerk, die Reform der Elektrizitätslehre, be- 

 gann, im Jahre 1881 eine seines großen Namens 

 würdige Arbeit des genannten Titels verfaßt. Er be- 

 schreibt darin die Vorgänge beim Zusammenpressen 

 zweier elastischer Körper in der Nähe der Berührungs- 

 stelle und bestimmt insbesondere die Druckellipse, 

 d. h. diejenige Fläche, in die der ursprüngliche Be- 

 rührungspunkt bei zunehmendem Drucke übergeht, 

 sowie die Größe des spezifischen Druckes im Mittel- 

 punkte der Druckfläche. An die letztere Größe knüpft 

 er eine quantitative Definition des Begriffes Härte 

 an, eines Begriffes, der uns aus dem gemeinen Leben 

 scheinbar so vertraut und der doch so schwer scharf 

 zu fassen ist. Aus dem auf seine Härte zu prüfenden 

 Material seien zwei Stücke geschnitten , z. B. eine 

 ebene Platte und eine von einer Kugelfläche begrenzte 

 Linse. Die Pressung wird so lange gesteigert, bis 

 sich ein Riß zeigt (bei sprödem Material) oder eine 

 dauernde Deformation (bei plastisch zähem Material). 

 Die hierbei erreichte Größe der spezifischen Pressung 

 im Mittelpunkte der Druckfläche wird nun von Hertz 

 als quantitatives absolutes Härtemaß vorge- 

 schlagen. 



Diese Hertzsche Theorie ist teils von physikali- 

 scher, teils von technischer Seite erfolgreich aufge- 

 nommen worden. Unter physikalisch-mineralogischem 

 Gesichtspunkt hat F. Auerbach auf dem von Hertz 

 angegebenen Wege eine große Reihe von Präzisions- 

 messungen ausgeführt, mit dem Endziel, den Gliedern 

 der bekannten Mohrschen Härteskala absolute Zah- 

 lenwerte zuzuordnen. 



Eine technische Verwertung der Hertz sehen 

 Theorie haben zuerst Föppl und Schwerd, sodann 

 in ausgedehnterem Maße Stribeck unternommen. 

 Bei Stribeck handelt es sich darum, zuverlässige 

 Regeln für die Konstruktion der Kugellager zu ge- 

 winnen, insbesondere die zulässige Beanspruchung 



