276 



Natiirwissenschaftliclic Wochenschrift. 



Nr. 27. 



Der Zirkel besteht aus eiueni schmalen Messiuglineal, 

 in welchem zwischen e und d ein Spalt offen gelassen ist. 

 Bei j) ist eine Bleistiftspitze angebracht, bei * und Sj be- 

 finden sich scharfe Zirkelspitzcn. Es ist klar, dass ganz 

 bestimmte Winkelstellungen bei Festsetzung der Zirkel- 

 sjjitzen und Sj eintreten mssen, da a = b = c ist; und 

 zwar mssen die Winkelstellungen in einem besonderen 

 Verhilltniss zu einander stehen, das auf dem Lehrsatz 

 beruht: Der Aussenwinkel an einem Dreieck ist gleich 

 der Summe der gegenidjcrliegenden Winkel im Dreieck.'- 



In Wirklichkeit sind drei gleiche Arme vorhanden, 

 welche drehbar aneinander befestigt sind. Der Arm c" 

 wird durch einen Spalt in seiner Verlngerung gezwungen, 



Spitze des mittleren Armes eine Wurzel dieser Gleichung 

 darstellt. Das ist ein Zeugniss fr die natrliche 

 Lsung der Dreitheilung des Winkels. Der Erfinder 

 zeigt in der unten genannten Brochure, dass sich daraus 

 auch Zirkel ableiten lassen, welche eine 5, 7, 11, 13 u. 

 s. w. gehende Theilung gestatten. 



Der Dreitheilungszirkel ermglicht ferner eine sehr 

 einfache Konstruction des Winkels von 36. 



1. Man setze mit den Spitzen des Zirkels in A u. B 

 (Fig. 3) ein und beschreibe eine Kurve. Der Schnitt mit der 

 Mittelscnkrechten von AB sei C. Dann ist 4I ACB 

 = 36. 



Beweis: Der vierte Punkt des Zirkels sei E, dann 



P^QS-VaOQS- 



ED 



Figur I. 



Figur 2. 



Figur 3. 



stets durch das freie Ende von ' zu gehen. Soll nun 

 der beliebige Winkel ZQS gedrittelt werden, so ziehen 

 wir durch (> den Endpunkt \ou or^ := dem Spitzen- 

 abstand eine Parallele zu (JS, setzen den Zirkel mit 

 den Spitzen in Q n. ein und bescinx'ibcn mit dem be- 

 weglichen p eine Kurve. Der Schnitt dieser Kurve mit 

 der Parallelen ist ein Punkt P, der Dreitheilungslinie; 

 wenn wir P, mit Q verbinden, so ist 



^ P,QS= Vo 0Q8. 



Es folgt aus der Figur, dass die bisher bekannte 

 Dreitheilung des rechten Winkels nur ein spezieller 

 Fall war. 



Die Geltung fr grssere Winkel als 90 lsst sich 

 leicht ableiten. 



Fig 1 zeigt den Zirkel (fr die Hand des Schlers). 



Fig. 2 seine Anwendung. 



QO = a = OM=b = M P, = c. 



Es ist bekannt, dass das Prolilem der Trisektion auf 

 eine Gleichung dritten Grades fhrt; das Merkwrdige ist 

 nun, dass jede Zirkelffnung vom Bleistift bis zur 



ist nach Art der Einrichtung des Zirkels AB = BE = EC. 

 Hieraus folgt sofort die aus der Figur ersichtliche Grsse 

 der Winkel ausgedrckt durch . 



ba= 180, = 36. (V'ergl. Fig. 3.) 



2. Der Punkt C wird auch erhalten, wenn man von 

 AB aus mit dem Zirkel 2 symmetrische Kurven be- 

 schreibt. 



Der Dreitheilungszirkel dient ferner zur Theilung von 

 Linien nach dem goldenen Schnitt. In obiger Zeich- 

 nung des Winkels von 36 ist BE Winkelhalbirende, also 

 gilt sofort die Proportion: 



BC : BA = CE : EA. 



Da CE = BA, und BC = AC, so wird die Pro- 

 portion 



AC: EC=EC: AE. 



d. h. " ist der goldene Schnitt. Verlngert man BA, 

 BE, BC nach beiden Seiten, so werden alle Parallelen 

 zu AC durch die Linie BE nach dem goldenen Schnitt 

 geteilt. 



