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Natnrwisscnscliuftlichc Wocliensclivift. 



Nr. 35 



g-rosse Steine mit quadratisclicr Oberflche 

 gerade Platz hat, aber nur 15 solche mit den 

 Zahlen von 1 bis 15 beschriebene und sich be- 

 rhrende Steine enthlt, diese Steine, wenn sie 

 ))eliebig liegen, durch blosses Verschieben so zu 

 ndern, dass die folgende Figur entsteht: 



Die durch diese Figur bestimmte Stellung der l 

 Steine zu einander wollen wir die regulre Stellung 

 nennen. Beispielsweise sei die folgende Stellung durch 

 Verschieben in die regulre berzufhren: 



Unter anderm wird man dieses Problem dadurch lsen 

 knnen, dass man bei der gegebenen Anfangs-Stellung 

 zunchst den mit 1.') beschriebenen Stein auf das leere 

 Feld rckt, dann die drei Steine 11, 8, 12 nach rechts 

 schiebt. Ans der so gewonnenen Stellung 



kann man nach und nach die folgenden Stellungen leicht 

 durch Schieben erreichen: 



woraus nun durch Aufwrts-Schieben der Steine 8 und 12 

 die regulre Stellung sofort erreicht werden kann. 



Es fragt sich zunchst, wieviel Probleme mg- 

 lich sind, d. h. wieviel verschiedene Anordiumgen sich 

 den 15 Steinen geben lassen, wobei vorausgesetzt werden 

 soll, dass bei jedem Problem das leere Feld, wie bei der 

 regulren Stellung, rechts unten ist. Wir kommen in das 

 (lebiet der Permutationslehre. Zunchst sieht man ein, 

 dass zwei Dinge a und b nur zwei Anordnungen a b und 

 b a haben knnen. Bei drei Dingen giebt es schon drei- 

 mal soviel, also 6, weil a vor b c und vor c b gesetzt 

 werden kann, und ebenso zwei Anordnungen da sind, die 

 mit b anfangen, sowie zwei, die mit c anfangen. Hieraus 

 folgt wieder, dass vier Dinge a, b, c, d viermalsoviel, also 

 4x3X2 = 2-1 verschiedene Anordnungen haben knnen. 

 Und so muss diese Schlussfolge beliebig fortgesetzt 

 werden knnen. Also kann man den 15 Steinen im 

 Ganzen 



2x3x4x5x6x7x8x9xl0xllxl2xl3x 14 x 15 



Anordnungen geben. Rechnet man dieses Multiplications- 

 Exempel aus, so erhlt man die stattliche Anzahl von 



1 Billion 307 674 Millionen und 365 000 



Boss-Puzzle-Aufga])en. Dieselbe Zahl ergiebt sich natr- 

 lich auch, wenn man fragt, wieviel Platz-Verschiedenheiten 

 eine Tischgesellschaft von 15 Personen haben kann, wo- 

 bei es natrlich schon als eine neue Platzordnung gerechnet 

 ist, wenn nur zwei Personen ihre Pltze gendert haben. 

 Wollte also eine solche 'J'ischgesellschaft alle Tage anders 

 sitzen, so brauchte sie ber 3600 Millionen Jahre dazu, 

 alle mglichen Anordnungen durchzusitzen; und selbst, 

 wenn die 15 Personen im Stande wren, alle Secunde 

 eine neue ( *rdnnng einzunehmen, so wrden sie ohne Unter- 

 brccliung ber 41 000 .fahre daran arbeiten mssen, ehe 

 sie alle denkbaren Platzverschiedenhciten durclijjrobirt 

 htten. Dieses Beispiel giebt vielleicht eine Ahnung von 

 der Grsse der berechneten Zahl aller mglichen Boss- 

 Puzzle- Aufgaben. 



Wer eine dieser Aufgaben zu lsen unternimmt, wird 

 bald die ersten 12 Steine auf ihre richtigen Pltze durch 

 Schieben bringen knnen. Dann al)er wird er in der 

 vierten Reihe eine 

 mssen: 



1) 13, 14, 15; 

 4) 13, 15, 14; 



der folgenden 6 Stellungen erhalten 



2) 14, 15, 13; 3) 15, 13, 14; 

 .5) 14, 13, 15; G) 1.5, 14, 13. 



Die Praxis wird dann Jedem bald zeigen, dass man 

 das durch die erste Stellung angegebene Ziel auch bei 

 der zweiten und dritten Stellung durch Mitbenutzung der 

 Steine 9, 10, 11, 12 der dritten Reihe erreichen kann, 

 und zwar nach mindestens 18 maligem Rcken eines 

 Steines, dass man aber bei der vierten, fnften und 

 sechsten der 6 angegebenen Stellungen die geforderte 

 regulre Stellung nicht erreichen kann. Die Lsung 

 einer solchen Aufgabe kann nur durch Betrug oder 

 Taschenspielerei bewerkstelligt werden. Man gelangt 

 nndich immer dann zur Lsung, wenn man irgendwann, 

 statt zu schieben, einmal zwei Steine ihre Pltze wech- 

 seln lsst. 



Um der Theorie der Boss-Puzzle-Aufgaben nher 

 treten zu knnen, gehen wir von folgenden einfachen 

 Ueberlegungen aus. Unter Zug" hn Boss-Puzzle-Spiel 

 verstehen wir die Verschiebung eines Steines auf den be- 

 nachbarten leeren Platz. Bewegen wir nun einen Stein 

 von seinem anfnglichen Platze fort, schieben dann so, 

 dass er weiter wandern kann, und lassen ihn nun so be- 

 liebige und beliebig unterbrochene Wanderungen aus- 

 fhren, aber derartig, dass er schliesslich einmal auf 

 seinen alten Platz zurckkehrt, so hat der Stein innner 

 eine gerade Anzahl von Zgen ausgefhrt, gleichviel, 



