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Natiuvvisscuscliat'tliche Wochenschrift. 



welche Platz- Aeiulcrungcn die Ul)rigen Steine dabei er- 

 halten haben. Denn jeder Zug in horizimtalcr oder ver- 

 tikaler Richtung muss irgendwann und irgendwo einmal 

 wieder durch eine parallele Verschiebung in entgegen- 

 gesetzter Richtung rckgngig gemacht sein. Was 

 hiermit von einem Stein als richtig erkannt ist, muss auch 

 fr das leere Feld gelten, welches ja auch bei .jedem Zuge 

 horizontal oder vertikal um einen Schritt vorwrts oder rck- 

 wrts wandert. Hieraus geht aber folgende Wahrheit hervor: 

 Wird eine Stellung der 15 Steine durch beliebig fort- 

 gesetzte Verschiebung iu eine andere Stellung bergefhrt, 

 bei welcher der leere Platz wieder da ist, wo er vorher 

 war, so ist die Gesa mmtsu nunc aller der whrend 

 der Ueberfhrung der einen Stellung in die andere aus- 

 gefhrten Zge eine gerade Zahl. Bei jeder s<dchen 

 Verschiebung kann man sich denken, dass (b'r zuerst auf 

 den leeren Platz unten rechts gerckte Stein nach ein- 

 ander mit snuntlichen sonst noch gezogenen Steinen den 

 Platz wechselt. Beispielsweise ziehen wir, von der 

 regulren Stellung ausgehend, nach einander die Steine: 



12, 8, 7, 3, 2, 6, 10, 14, 15, 12, 



sodass wir als neue Stellung erhalten: 



Die vorgenommene Verschiebung knnen wir uns nun 

 durch eine Vertauschungs-Folge ersetzt denken, wenn 

 wir uns vorstellen, dass der leere Platz immer von dem 

 zuerst gezogenen Stein 12 besetzt ist. Stein 12 tauscht 

 dann zuerst mit 8, dann mit 7, dann mit 3, mit 2, mit 6, 

 mit 10, mit 14, endlich mit 15. Es sind also bei den 

 10 Zgen 8 Platzwecliscl vorgekommen, nndieh 2 Platz- 

 wechsel weniger als Zge, weil das Hineiiu-ckcn der 12 

 in den leeren Platz und das Entfernen von demselben 

 keinen Tausch von Steinen veranlasst. So muss es aber 

 bei jeder noch so complicirten Verschiebung sein; immer 

 kann man sagen, dass der zuerst auf den leeren Platz 

 gerckte Stein mit allen sonst noch gezogenen vSteinen 

 tauscht. Dabei ist die Zaid der gedachten Vertauschungen 

 immer um 2 kleiner als die Zahl der Zge. Da nun die 

 Zahl der Zge, wie schon oben eingesehen ist, eine gerade 

 sein muss, eine um 2 verminderte gerade Zahl wieder 

 gerade ist, so ist auch die Zahl der vorgekommenen 

 Vertauschungen eine gerade. Statt die Vertauschung 

 mit Stein 12 zu beginnen, kann ich sie natrlich mit 

 irgend einem der gezogenen Steine beginnen, z. B. mit 3. 

 Es tauscht dann 3 mit 2, dann mit (3, mit 10, mit 14, 

 mit 15, dann ber das leere Feld schrg mit 12, dann 

 mit 8, dann mit 7. Oft kehren Steine im Laufe der Ver- 

 schiebungen wieder an ihre Pltze zurck. Da sie dazu 

 eine gerade Zald von Zgen brauchen, so bleibt die 

 Zahl der Vertauschungen gerade, wenn man solche Ver- 

 tauschungeu, die aus rckkehrenden Steinen entstanden 

 sind, nicht mitzhlt. Zieht man z. B., von der' regulren 

 Stellung ausgehend, nach einander die Steine 

 15, 14, 10, 11, 7, 6, 11, 10, 14, 15, 



so kann man, statt 15 mit 14, dann mit 10, mit 11, nnt 7, 

 mit G, mit 11, mit 10, endlich mit 14 tauschen zu lassen, 

 auch bloss 11 nnt 7 und dann 11 mit i'> tauschen lassen, 

 um die neue Stellung zu erzielen. Jedenfalls erhalt man 

 auch dann eine gerade Zahl von Vertauschungen. Wenn 



also zwei Stellungen durch Verschiebung aus einander 

 hervorgehen, so kann man sie auch durch eine gerade 

 Zahl von Vertauselningen zweier benachbarter Steine in 

 einander berflu'cn. Befolgt man dabei nun nicht gerade 

 die aus der Verschiebung selbst resultirende Vertauschungs- 

 ( Ordnung, sondern irgend welche andere, bei der man aber 

 auch das Ziel erreicht, so hat man vielleicht mehr oder 

 weniger Vertauschungen gemacht, jedenfalls aber eine 

 gerade Anzald mehr oder weniger, weil man eine gerade 

 Anzahl von ^'ertauschungen vornehmen muss, um aus einer 

 gewissen Anordnung von Dingen dieselbe Anordnung wieder 

 zu erhalten. Hieraus kann man also die folgende Wahrheit 

 scidiessen: Ist eine alte Stellung der 15 Steine des Boss- 

 Puzzle durch blosses Verschieben in eine neue bergefhrt, 

 bei welcher der leere Platz wieder auf sein altes Feld zu- 

 rckgekehrt ist, so nmss die Zahl der Vertauschungen, 

 die man mit je zwei benachbarten Steinen vornehmen 

 muss, um ebenfalls aus der alten Stellung die neue zu er- 

 halten, gerade sein. 



Wenn man min zwei nicht benachbarte Steine ihre 

 Pltze wechseln lsst, z. B. bei der regulren Stellung 

 2 und 11, so kann man diesen Tausch auch durcii niclir- 

 malige Vertauschung je zweier benachbarter Steine er- 

 setzen. Man hat nndieh 2 mit 3, 2 mit 7, 2 mit 11 und 

 dann nur nocli 7 mit 11, 7 mit 2 die Pltze wechseln zu 

 lassen. 



Man sieht also, dass die Vertauschung zweier nicht 

 benachbarter Steine immer dadurch geleistet werden kann, 

 dass man soviel Vertausehungen je zweier Nachbarsteine 

 vornimmt, als die um 1 verminderte doppelte Anzahl der 

 Zge betrgt, welche mau von dem Platz des einen Steins 

 zum Platz des andern Steins niaclien msste. AVenn man 

 also eine Vertauschung zweier nicht benachbarter Steine 

 an die Stelle zweier benachbarter Steine setzt, so fgt 

 man dadurch immer eine gerade Anzahl von Vertauschungen 

 zweier l)enachbarter Steine hinzu. Dieses Resultat giebt 

 im Verein mit der oben erkannten Wahrheit das folgende 

 wichtige Resultat: 



Wenn man zwei durch blosses Verschieben 

 in einander berflir))are Stellungen der 15Steine 

 des Boss-Puzzle dadurch in einander berfhrt, 

 dass man auf irgend welche Weise immer je zwei 

 beliebige Steine mit einander vertauscht, so 

 nimmt man stets eine gerade Zahl von Ver- 

 tausehungen vor. 



Es wird zweckmssig sein, dieses Resultat durch 

 einige Beispiele zu eriirten: 



1) Man gehe von der regulren Lage der Steine aus, 

 schiebe auf den leeren Platz den Stein 12, auf den dann 

 leer gewordenen Platz den Stein 11, auf den so erhaltenen 

 leeren Platz den Stein 15 und auf dessen Platz den Stein 12. 

 Dann kann man diese auch dadurch bewirken, dass man 

 erst Stein 11 und 12 ihre Pltze wechseln lsst und darauf 

 Stein 12 mit Stein 15 vertauscht. Man hat dann zwei, 

 also eine gerade Zahl, von Vertauschungen vorgenommen. 



2) Man gehe wieder von der regulren Stellung aus, 

 rcke auf den leeren Platz den Stein 15 und dann immer 

 auf den jedesmal leer gewordenen Platz die Steine 



14, 10, 11, 7, (), 11, 10, 14, 15. 



Dann kann man die neue Stellung natrlich aucii 

 erreichen, wenn man den Stein 15 nach einander mit 

 14, 10, 11, 7, (j, 11, 10, 14 austauscht. So fhrt man 

 8 Vertauschungen aus. Da jedoch die erste Vertauschung 

 der Steine 15 und 14 durch die letzte von 14 und 15 

 wieder rckgngig gemacht wird, und dasselbe dann fr 

 die zweite und vorletzte, sowie fr die dritte und dritt- 

 letzte Vertauschung gilt, so kann man statt durch 8 auch 

 durch 3 mal 2 weniger, also nur durch 2 Vertauschungen 



