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Naturwissciiseliaf'tliclic Woclicuschril't. 



Nr. 35. 



die neue Stellung erzielen. Man braucht nmlich nur 11 

 mit 7 und dann 11 mit 6 den Platz wechseln zu lassen. 

 3) Man gehe \on der regulren Stellung aus und 

 rcke auf den jedesmal leeren Platz die Steine 



1-2, 11, 10, 14, 15, 10, 14, 9, 13, 15, 10, 14, 

 9, 10, 15, 13, 10, 9, 11, 12. 



Dadurch erhlt man als neue Stellung: 



Diese neue Ordnung geht aber auch aus der alten durch 

 zwei, also durch eine gerade Zahl von Vertauschungen 

 hervor, nndich durch den Platzwechsel der Steine 9 und 10, 

 sowie der Steine 14 und 15. 



4) Man verschiebe die Stellung 



z. B. durch die Zge 11, 10, 15, 12, 8, 7, 4, 3, 2, 6, 10, 11. 

 Wie man nun auch versuchen mag, durch Vertausehung 

 von Steinen aus der alten Stellung die neue zu erreichen, 

 immer wird man eine gerade Zahl von Vertauschuugen 

 vorzunehmen haben; z. B. kann man die Steine 15 und 4, 

 15 und 3, 15 und 10, dann 10 und 2, 10 und 6, dann 

 8 und 4, 8 und 12, endlich 7 und 4 ihre Pltze wechseln 

 lassen. 



Aus unseren obigen Ueberlegungen folgt auch die 

 mkchrung des erhaltenen Resultats, die wir hier aus- 

 sprecheu und dnrcli Beispiele verdeutlichen wollen: 



Eine alte Stellung der 15 Steine des Boss- 

 Puzzle ist in eine neue Stellung berfhrbar 

 oder nicht, je nachdem die Anzahl der irgend 

 wie vorgenommenen Vertauschungen, welche 

 gleichfalls aus der alten Stellung die neue her- 

 stellen knnen, gerade ausfllt oder nicht. 



Hierzu einige Beispiele: 



1) Die Preis-Aufgabe, welche 1880 im Eibpavillon zu 

 Hamburg angeschlagen war (vergl. Einleitung), verlangte, 

 die Stellung, bei welcher alle Steine bis 13 an ihren 

 richtigen Pltzen waren, dagegen 15 und 14 vertauscht 

 waren, in die regulre Stellung berzufhren. Die Auf- 

 gabe war unlsbar, weil eine Vertauschung zweier Steine 

 dasselbe bewirkt, und 1 eine ungerade Zahfist. Aus dem- 

 selben Grunde sind auch die beiden Aufgaben unlsbar, 

 bei denen die Steine von 1 bis 12 an ihren richtigen 

 Pltzen stehen, dann aber 14, 13, 15 oder 15, 14, 13 folgt. 

 Dagegen sind lsbar die beiden Aufgaben, bei denen die 

 Steine der ersten drei Reihen richtig stehen, dann aber 



14, 15, 13 oder 15, 13, 14 



folgt. Denn hier erreicht man durch zwei Vertauschungen 

 die regulre Stellung 13, 14, 15, und 2 ist eine gerade Zahl. 



2) Man hat sich die Aufgabe gestellt, durch Ver- 

 schieben die erste der beiden folgenden Stellungen in die 

 andere berzufhren: 



Unsere oben gefundene Regel entscheidet sofort dar- 

 ber, ob es mglich oder unmglich ist. Man schiebe 

 zunchst so, dass der leere Platz bei beiden Stellungen 

 an demselben Orte ist, also etwa 12 auf den leeren Platz 

 und auf den dadurch leer gewordenen Platz den Stein 11. 

 Darauf kann man etwa so tauschen: 4 mit 1, 2 mit 3, 

 9 mit 6, 15 mit 7, 14 mit 8, 13 mit 9, 12 mit 10, 14 mit 12, 

 15 mit 13, 14 mit 15. Da man durch 10, also durch eine 

 gerade Zahl von Vertauschungen auch zum Ziel gelangen 

 kann, so ist die gestellte Aufgabe lsbar. 



3) um zu prfen, ob man die Stellung: 



in die regulre verschieben kann, schie))e man 13, 14, 15 

 nach links, so dass der leere Platz an seine richtige Stelle 

 konnnt. Dann erkennt man sofort, dass man nur die 

 Steine 4 und 1, 3 und 2, 8 und 5, 7 und (i, 12 und 9, 

 11 und 10, 13 und 15 zu vertauschen braucht, um die 

 regulre Stellung zu erzielen. Da dies 7, also eine un- 

 gerade Zahl von Vertauschungen sind, so ist die Aufgabe 

 unlsbar. 



Aus den beiden oben als richtig erkannten Regeln 

 folgt auch: 1) dass zwei Stellungen, welche sich durch Ver- 

 schieben in eine und dieselbe dritte Stellung bringen 

 lassen, in einander verschoben werden knnen; 2) dass 

 zwei Stellungen, welche sich beide nicht durch Verschieben 

 in eine und dieselbe dritte Stellung berfhren lassen, 

 in einander verschiebbar sind; 3) dass zwei Stellungen 

 nicht in einander verschoben werden knnen, wenn sich 

 die eine in dieselbe dritte Stellung berfhren lsst, nicht 

 aber die andere. Ebenso erkennt man nun leicht, dass 

 jede nicht in die regulre Stellung verschiebbare Stellung 

 zu einer doch so verschiebbaren wird, wenn man einmal 

 oder eine ungerade Anzahl Male entweder zwei Steine 

 vertauscht oder, was auf dasselbe hinauskommt, einen Stein 

 oder eine ungerade Anzahl von Steinen berspringt. 



Wenn bei einer Boss-Pnzzle-Aufgabe, welche die Ver- 

 schiebung in die regulre Stellung verlangt, viele Steine 

 zufllig auf ihren richtigen Pltzen liegen, so wird man 

 schnell die Zahl der Vertauschungen bersehen, die vor- 

 zunehmen sind, um die brigen Steine richtig zu ordnen. 

 Fllt jene Zahl gerade aus, so ist die Aufgabe lsbar, 

 fllt sie ungerade aus, unlsbar. Wenn aber bei einer 

 complicirteren Aufgabe sehr wenige oder gar kein Stein 

 an seinem richtigen Platze liegt, so htte man viele, 

 h(ichstens freilich 15, Vertauschungen vorzunehmen, um 

 die Entscheidung ber die Lsbarkeit treffen zu knnen. 

 Man kann aber in solchem Falle die Vertauschuugen 

 ordnungsmssig in Reihen zusammenfassen und so 

 bersichtlicher gestalten, wie folgendes Beispiel zeigt: Es 

 sei zu prfen, ob die erste der beiden folgenden Stellungen 

 in die zweite regulre verschiebbar ist: 



