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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 35. 



G r u 2) p <- ii- 



Da jede beliebige Stellung, die nicht in eine bei 

 Gruppe A angegel)ene Stellung durch Verschieben gebracht 

 werden kann, nothwcndig in eine Stellung der Gruppe B 

 verschiebbar sein muss, so kann man jede Boss-ruzzle- 

 Aufgabe lsl)ar nennen, wenn man unter lsen" versteht, 

 die gegebene Stellung in irgend eine der obigen acht 

 Stelhmgen zu verschieben. Da zwei Stellungen der Gruppe B 

 aus der regulren Stellung hervorgeben, indem man die- 

 selbe in einem Spiegel betrachtet, der senkrecht auf der 

 Ebene des Boss-Puzzlc-Quadrats und parallel einer Seite 

 desselben ist, so kann man auch sagen, dass jede Stellung 

 der Uy Steine durch Verschieben in eine Stellung gebracht 

 werden kann, die entweder selbst regulr ist, oder, in 

 einem Spiegel betrachtet, regulr erscheint. 



Bisher haben wir das Boss -Puzzle -Spiel immer nur 

 unter der Annahme betrachtet, dass 15 Steine in einem 

 Kstchen liegen, der fr 4 mal 4 Steine Platz hat. Es 

 lassen sich jcdocli alle obigen Errterungen ohne Weiteres 

 auf den Fall ausdehnen, dass das quadratische oder recht- 

 eckige Kstchen fr beliebig viele Steine Platz hat, und 

 einen Stein weniger wirklieh enthlt. Namentlich gilt fr 

 diesen allgemeinen Fall auch die oben bewiesene llaupt- 

 regcl ganz unverndert, wie folgende Beispiele zeigen: 



1) Es sei zu prfen, ob verschoben werden kann: 



Aus der bequemeren Schreibweise 



ergeben sich vier Vertauschungskreise, nmlich: 

 1) 1, 5, 7; '>) 2; 3) 3, 8, 4; 4) 6. 



Da die Steinzahl 8 betrgt, und 8 weniger 4 eine 

 gerade Zahl ist, so sind die l)eidcn Stellungen in einander 

 verschicl)l)ar. 



2) Es sei zu entscheiden, ob die beiden folgenden 

 Stellungen durch Schieben in einander bergefhrt werden 

 knnen : 



Schiebt mau bei der zweiten Stellung die Steine 10 

 und II beide nach links, damit der leere Platz bei beiden 

 Stellungen gleich liegt, so hat man zu schreiben: 



14 



18 19 20 

 8jl0 9 



Hieraus gehen die folgenden 4 Vertauschungskreise 

 hervor: 



1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4, 1(3, 20, 9, 5, 15, 7, 17, 

 11, 13, 19, 10, 18, 8, 14, 12, 6. 



Da 20 weniger 4 eine gerade Zahl ergiebt, so ist die 

 gestellte Frage mit ja zu beantworten. 



Zum Schluss wollen wir noch kurz eine Boss-Puzzle- 

 Spielerei besprechen, welche bald nach Erfindung des 

 gewhnlichen Boss-Puzzle-Spicls auftauchte und auch das 

 Interesse und die Geduld vieler Menschen in Anspruch 

 nahm. Man In-achte nndich das Spiel in Verbindung nnt 

 dem Problem*) der magischen Quadrate und verlangte, 

 die regulre Stellung der 15 Steine derartig zu verschieben, 

 dass, wenn man sich das leere Feld durch die Zahl IG 

 besetzt denkt, die Summe der 4 Zahlen in jeder iiori- 

 Zdntalen, verticalen oder diagonalen Richtung immer gleich 

 ausfllt. Dieses Problem mchte der Verfasser dahin ver- 

 bessern, dass man sich das leere Feld gar nicht l)csetzt 

 denke, und demgemss es beim Addiren nicht mitrechne. 

 Die Lsung des so verbesserten Problems ist im wesent- 

 lichen ganz dieselbe, wie die Lsung des ursprnglich 

 gestellten. Am einfachsten entsteht ein magisches Quadrat 

 von 1() mit den Zahlen von bis 15, indem man diese 

 Zahlen sich der Reihe nach in die Ki Felder geschrieben 

 denkt, bei den 8 Feldern aber, die nicht die Mitte und 

 die Ecken bilden, die Zahl whlt, welche sich ergiebt, 

 wenn man die eigentlich hineingehrige von 15 abzieht. 

 Demnach handelt es sich darum, etwa die beiden fol- 

 genden Stellungen in einander berzufhren: 



Das zweite Quadrat erfllt die gestellte Bedingung, 

 indem sich innner die Summe 30 ergiebt, gleichviel, ob 

 man horizontal, vertical oder diagonal addirt. Es fragt 

 sich aber, ob die Ueberfhrung der einen Stellung in die 

 andere durch Verschieben mglich ist. Unsere Haupt- 

 regel verneint diese Frage, da es 4 Vertauschungskreise 

 giebt. Hieraus knnen wir aber schliessen, dass sich die 



*) Dieses Problom ist in dem vorigen Artikel (Naturw. 

 Woeheuschr." vom 28, Mai und 4. Juni) behandelt. 



