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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 42. 



durch a b bezeichnet werde, allemal dann Addition heispcn soll, wenn 

 erstlich das commut.ative Gesetz a h != h a, zweitens das asso- 

 ciative Gesetz (a b) c = a (b c) und wenn drittens die Aufgabe 

 a X ^ b fr x stets eine eindeutige Lsung liefert. Das Ver- 

 knpfnngszeichen fr die Addition soll + sein. Eine zweite 

 Verknpfnngsart (:) soll allemal dann eine Multiplication heissen, 

 wenn (a + h) '. c ^ a '. c + b : c und auch c'. (a + b) ^ c '. a -\- c ' b ' 

 ist. Auch hier wird das algebraische Zeichen fr die Verknpfung 

 gewhlt. 



Dann wird genau definirt, dass unter der Verknpfung zweier 

 Strecken und zu einer dritten Strecke y, die dritte Seite 

 eines Di-eiecks verstanden werden soll, dessen andere Seiten nach 

 Grsse und Richtung eben ilie Strecken und sind. Nachdem 

 dann gezeigt ist, dass diese Verknpfung alle fr die Addition 

 festgesetzten Merkmale hat, wird 



y = + / 

 gesetzt. 



Ganz anders verfhrt Herr Kraft in dem zweiten Abschnitt 

 des ersten Kapitels, welcher von der .Summation der Punktgrssen 

 handelt. Zunchst erscheint schon die Definition der Punktgrsse 

 fr einen einzelnen Punkt sehr usserlicli. F'.s wird gesagt, wenn 

 n Punkte in einem Punkt ^4 zusammenfallen, so soll die Ge- 

 ,=amnitheit dieser Punkte eine Punktgrcisse heissen, welche durch 

 nA dargestellt w'ird. Dieses Zeichen ist also nur fr ganze posi- 

 tive Zahlen , nicht aber fr negative oder gebrochene Zahlen 

 definirt. Was unter der Summe von Punktgri5sen zu verstehen 

 ist, wird gar nicht deutlich definirt. Es wird nur gesagt: 



Weil Gleiches zu Gleichem addirt Gleiches giebt, so wird die 

 Summe der Punktgrssen eines Punktvereins eine gewisse Punkt- 

 grsse sein." 



Sind aA, bB, eG. . . die zu addirenden Punktgrssen, ist xS 

 das nher zu bestimmende Ergebniss, so muss die Gleichung 

 aA + bB + cC . . . = xS bestehen. 



Wenn nun aber keine besondere Voraussetzung ber den 

 Sinn der Addition gemacht wird, so kann sie zunchst nur eine 

 rein formale Bedeutung haben. Sie sagt dann nichts weiter als 

 das gleichzeitige Vorhandensein der zu addirenden Elemente aus, 

 und die Summe ist dann nur ein abgekrzter und zusammen- 

 fassender Ausdruck fr die Gesammtheit dieser Elemente. Zwar 

 kann auch die so aufgefasste Summe mit Hlfe der Formeln 

 a + b = b + a und (a + b) + c =^ a + (h + c) umgebildet werden, 

 aber diese Umgestaltungen sind rein formaler Natur. In welche 

 Gestalt auch immer die in Frage stehende Summe mit Hlfe der 

 angefhrten Gleichungen gebracht werden mge, nie sagt sie 

 etwas anderes als das Vorhandensein der von vornherein ge- 

 gebenen Elemente aus. Deshalb ist die Wendung, vermge 

 welcher Herr Kraft die Summe eines Vereins von Punkt- 

 grssen zu einer einzelnen Punktgrsse zusammenfasst, offenbar 

 unzulssig. 



Die nhere Bestimmung der einzelnen Punktgrsse, welche 

 die Summe darstellen soll, gelingt nur deshalb, weil unter der 

 Form ungerechtfertigter Schlsse da.sjonige eingefhrt wird, was 

 als Erklrung an die Spitze der ganzen Entwickelung gestellt 

 werden mussto. nmlich der Begi'ifF der Aequivalenz nicht identi- 

 scher Vereine von Punktgi-ssen. 



Im zweiten Kapitel kommt der sogenannte Drehungsfactor 

 zur Sprache, dessen Einfhrung auf eine recht usserliche Weise 

 begrndet wird. Von der Thatsache ausgehend, das,*; die Drehung 

 einer Strecke um einen gestreckten Winkel in der Wirkung mit 

 der Hinzufgung des Factors 1 identisch ist, wirft Herr Kraft 

 ohne weitere Ausfhrung die Frage auf: Welcher Factor x dreht 

 eine Strecke aus der Anfangslage um einen rechten Winkel? 

 Natrlich wird / gefunden. Nachdem dann fr die Winkel ip, welche 



n 

 Vielfache von -- sind, das Resultat der Drehung durch 



2w 



dargestellt ist, wird dieses Resultat ohne weitere Begrndung auf 

 beliebige Winkel bertragen. Im ersten Theile des dritten 

 Kapitels, welcher die ussere Multiplication der Strecken be- 

 handelt, schliesst sich Herr Kraft zuerst wieder etwas nher an 

 Grassmann an. Es wird zunchst gezeigt, dass die Verknpfung 

 n zweier Strecken zu dem Inhalt eines Parallelogramms, welcher 

 je nach dem Sinne der von nach auszufhrenden Drehung 

 als positiv oder negativ anzusehen ist, so lange vllig distributiv 

 bezglich der Streckenaddition ist, als alles in einer Ebene bleibt. 

 Ohne Zweifel ist also die in Frage stehende Operation fr den 

 Fall, dass alle in Betracht kommenden Linien und Punkte in 

 einer Ebene liegen, als Multiplication zu betrachten. 



Herr Kraft bertrgt nun aber, ohne irgend ein Wort der 

 Begrndung zu verlieren, die bis dahin nur unter der angegebenen, 

 beschrnkenden Voraussetzung gltige Formel (n, + j) /? ^ ,/S 

 + n,/5 auch auf den Fall, dass die drei Strecken ,,,, /J nicht 

 in einer Ebene liegen. Das richtige Verfahren wre offenbar 



gewesen, zunchst den noch nicht definirten Begriff der Summe 

 zweier nicht in einer Ebene liegenden Flchenstcke so zu be- 

 stimmen, dass die Formel (, + j) = a, + (if fr beliebige 

 gegenseitige Lage der Stiecken richtig wird, und dann aus der 

 jetzt allgemein gltigen Formel den multiplicativen Charakter der 

 Verknpfung tc ff den ganzen Raum zu schliesson. ^ 



Das ussere Produkt von Punktgr.ssen fln-t Herr Kraft durch 

 die Bemerkung ein, dass es dieselbe Eigenschaft liaben msse, 

 wie das ussere Produkt aus zwei Strecken. Vermittelst einiger 

 rechnerischer Wendungen, welche aus dieser Bemerkung fliessen, 

 wird dann das Produkt aus zwei Punkten in ein solches aus einem 

 Punkt und einer .Strecke verwandelt und dann von diesem Pi'O- 

 dukt ausgesagt: es fllt mit dieser Strecke zusammen und heisst 

 zur Unterscheidung von einer .Strecke ein Linientheil." 



Uns scheint, dass dieses Verfahren sowohl an Strenge wie 

 auch an Verstndlichkeit hinter dem von Grassmaun befolgten 

 zurcksteht. Zunchst kann man gegen die Art, wie Herr Kraft 

 das ussere Produkt der Punktgrssen einfhrt, das Bedenken er- 

 heben, ob es berhaupt eine solche Verknpfung zweier Punkt- 

 grssen giebt, auf welche die fr das ussere Produkt zweier 

 Strecken gltigen Rechenregeln anzuwenden sind. Dam aber 

 sieht man'' auch gar nicht ein, warum die Bedeutung des Pro- 

 duktes der Linientheil sein soll, d. h. nach blosser rechnerischer 

 Umwandlung durch Unterdrckung des einen Faktors gewonnen 

 werden soll. Diese Schwierigkeiten fallen fort, wenn man von 

 der Verknpfung zweier Punktgrssen zu einer Strecke ausgeht und 

 zeigt, dass diese Verknpfung die Eigenschaften des usseren 

 Productes besitzt. 



Das vierte Kapitel behandelt die Multiplication von geometri- 

 Gebilden li<iherer Stufe. Nachdem die in Betracht kommenden 

 Regeln entwickelt sind, zeigt der Verfasser ihre Anwendungen an 

 der Behandlung der Linien und Flchen zweiter Ordnung. Ein 

 zwar kurzes aber recht bersichtliches Kapitel ber die Elemente 

 der Determinante schliesst diesen Abschnitt. Den Schluss des 

 ganzen Werkes bildet ein kurzes Kapitel ber die (^uaternionen- 

 rechnung. Fritz Ktter. 



Neue Denkschriften der allgemeinen schweizerisclien Ge- 

 sellschaft fr die gesammten Naturwissenschaften. Band 

 XXXIll, Abtheilung I. Comm.-Verlag von II. Georg in Ba.sel, 

 Genf und Lyon. 1893. Das stattliche Heft entlilt drei um- 

 fangreiche Arbeiten, und zwar I) Dr. Robert Emden, Ueber 

 das Gletscherkorn (mit fnf Tafeln), deren Hauptresultat 

 Verfasser in die folgenden Worte zusammenfasst; Die Gletscher- 

 kornbildung ist keine Eigenthumlichkeit des Gletschereises, son- 

 dern eine durch einen moleeularen Umkrystallisationsprocess er- 

 klrbare Eigenschaft eines jeden Eises, und hat deshalb mit dem 

 Gletscher als solchem nichts zu thun, und die Bewegung des 

 Gletschers kann ohne dieselbe zustande kommen. Gletscherkorn- 

 bildung und Gletscher haben keine wesentliche wechselseitige Be- 

 deutung." Die zweite Abhandlung ist eine von S. S ch wen- 

 de ner mit einer Vorbemerkung und von C. Gramer mit einer 

 Schlussbemerkung versehene nachgelassene Arbeit des berhmten 

 Botanikers Karl Ngeli, Ueber oligodynami seh e_ Er- 

 scheinungen in lebenden Zellen." Ueber diese Arbeit findet 

 sich Ausfhrliches in dieser Nummer. Die dritte Arbeit (mit 

 drei Tafeln) aus der Feder des Professors E. D. Fischer bringt 

 Neue Untersuchungen zur vergleichenden Entwicke- 

 lung und Systematik der Pha lloideen." 



Jahrbuch fr Photographie und Keproductionstechnik fr 



das Jahr 1893, luM-ausgegeben von .Josef Maria Eder. 7. Jahr- 

 gang. Mit 145 Holzschnitten und Zinkotypien und 34 artistischen 

 Tafeln. Wilhelm Knapp in Halle a. S. 1893. Preis 8 Mk. - 

 Fr den Photogi-apheu von Fach und jeden, der sich eingehender 

 mit der photographischen Pra.xis beschftigt, ist das Jahrbuch 

 fr Photographie" von grossem Werth. Wir finden in demselben 

 eine grosse Zahl Original-Aufstze, jeinen Bericht ber die Fort- 

 schritte der Photographie und Reproductionstechnik in den Jahren 

 1891 und 1892, ein Verzeichniss der in Oesterreich und im Deut- 

 schen Reich verliehenen Patente und eine Litteraturliste. Auch 

 die Naturfcirschung verfolgt mit Interesse die Fortschritte auf dem 

 Gebiete der photographischen Praxis; werden jener doch von 

 dieser wichtige Dienste geleistet. So finden wir unter den lllustra- 

 tions-Tafoln mikro-photographische Aufnahmen von Theilen der 

 Amphipleura pellucida, die erlutern, wie ausserordentlich brauch- 

 bar die Photographie auch fr die Darstellung mikroskopischer 

 Objecte ist. 



Antonio della Valle, Gammarini del golfo di Napoli. Berlin. 

 150 M. 



Bardey, Dr. Ernst, Algebraische Gleichungen nebst den Resul- 

 taten und den Methoden zu ihrer Auflsung. Leipzig. 6 M. 



Bartels, San.-B.. Dr. Max, Die Medicin der Naturvlker. Leipzig. 

 11 M. 



