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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 44. 



den Pflock stehen lsst und die in i, k, 1 stehenden drei 

 Pflcke einfach fortninimt. Natrlich bleibt die Sache 

 ebenso, wenn die :') Lcher statt der obigen Figur eine 

 der folgenden drei t^igureu bilden: 



Jeden solchen Tripelzug wollen wir durch (i, k, 1) 

 bezeichnen, wenn i, k, 1 die drei Mittellcher bedeuten. 

 Beispielsweise lsst sich die Entleerung der 25 mittleren 

 Lcher in einem Schachbrett von 7 mal 7 Lchern, dessen 

 Rand frei ist, bloss durch Tripclzgc bewerkstelligen, 

 wie aus der beistehenden Figur und Tripelzug- Serie her- 

 vorgeht : 



1) (B4, B5. 6) 



2) (C4, C5, CG) 



3) (D G, Eli. FOl 

 1) (D5, E5, F5) 

 5) (F4, F3, r-2) 

 (!) (F4, Eo, E2) 



7) (0 2, C2, B2) 



8) (D 3, C 3, B 3]. 



ABC I) E 



Durch diese 8 Tripelzge werden von den 25 Pflcken 

 des mittleren Quadrats alle entfernt bis auf den im Mittel- 

 loch D 4 stehenden Pflock. 



Um eins der Haujjtresultate in der oben erwhnten 

 Abhandlung von Rciss verstehen zu knnen, mssen wir 

 den Begritif der Congruenz zweier Lcher einfhren. Den 

 Uebergang von einem Loch zu einem horizontal oder 

 vertical daneben befindlichen wollen wir einen Schritt 

 nennen. Dann hcis.sen zwei Lcher ., congrucnt", wenn 

 sie in liorizontaler Richtung um 0, 3, 6, 9 u. s. w. Schritte 

 und zugleich in verticaler Richtung um 0, 3, 6 u. s. w. 

 Schritte entfernt sind. Denken wir uns z. B. ein Schach- 

 brett mit 8 mal 8 Lchern, so wrden z. B. cougruent 

 zu dem Eckloch A 1 die folgenden Lcher sein: A 1, A 4, 

 A 7, D 1, D 4, D 7, G 1, G 4, G 7. 



A B C D E F G H 



l^'erner wrden sich als congrucnt zu E 5 diejenigen 

 ergeben, die in der vorstehenden Figur schattirt sind. Es 

 lsst sich leicht einsehen, dass auch auf dem unbegrenzt 

 gedachten Spielbrett nicht mehr als U firuppen von ein- 



ander congruenten Lchern denkbar sind. Denn jedes 

 Loch muss congrucnt zu einem von 9 ein Quadrat bilden- 

 den, sonst aber beliebig ausgewhlten Lchern sein. So 

 ergel)en sich also auch auf dem Spielbrett des Nonnen- 

 spiels in seiner gew(ihnliehen Form 9 Gruppen von ein- 

 ander congruenten Lchern, wie aus der beistehenden 

 Figur ersichtlich ist, wo alle einander congruenten Lcher 

 immer durch eine und dieselbe Zahl bezeichnet sind: 



Mit Hilfe des soeben eingefhrten Begriti's der Con- 

 gruenz lsst sich nun folgender von Reiss bewiesener 

 Lehrsatz aussi)rechcn : Bei jeder Lsung dcsNonnen- 

 spiel-Problems muss das Schlussloch dem An- 

 fangsloch congrucnt sein, wenn das Spiel die 

 beistehende bliche Gestalt hat." Da jedes Loch 

 sich selbst congrucnt ist, so kann es natrlich auch vor- 

 kommen, dass das Schlussloch mit dem Anfangsloch identisch 

 ist. Umgekehrt ist auch von Reiss bewiesen, dass bei 

 einem Spielbrett von 33 Lchern jedes Pr(d)lem, das ver- 

 langt, alle Ptlckc bis auf einen durch Schlagen zu ent- 

 fernen, lsbar ist, sobald man ein ganz beliebiges Loch 

 als Anfangsloch und ein dazu congruentes als Schlussloch 

 von vornherein bestimmt hat. Deshalb lassen sich die 

 lsbaren Probleme nach der Wahl der Anfangs- und 

 Schlusshicher bequem eintheilen. Um diese Eintheilung 

 v(U'zubereitcn, theilen wir die Lcher zunchst in Grupj)en 

 von unter sich congruenten. Derartiger (Jrupjten muss es, 

 wie oben gezeigt ist, bei jedem Spielbrett, also auch bei 

 unserm mit 33 Lchern, inimern neun geben. In der That 

 erhalten wir als einander congrucnt: 



1) D4, A4, D7, G4, Dl; 



2) C 4, C 7, F 4, C 1 ; 



3) E4, E7, B4, El; 



4) C.5, C2, F5; 



5) D5, A5, G5, D2; 

 G) E5, B5, E2; 



7) C3, CG, F3; 



S) D3, D6, A3, G3; 



9) E 3, B 3, E 6. 



Da nun in jeder Gruppe jedes Loch Anfangsloch und 

 dieses selbst, sowie jedes andere Schlussloch sein kann, 

 so erhalten wir aus der ersten Gruppe 5 mal 5, also 

 25 Probleme, aus der 2ten, 3ten, 5ten, 8ten Gruppe je 16 

 und aus der 4ten, 6ten, 7ten, 9ten je 9 Probleme, was im 

 ganzen 125 Probleme ergiebt. Diese Zahl lsst sich aber 

 crhebUch herabsetzen, und zwar zuvrderst durch die 

 Ueherlegung, dass durch genaue Umkehrung einer ein 

 Problem hisenden Zug- Serie innner die Lsung eines an- 

 dern Problems hervorgeht, wenn Anfangs- und Schluss- 

 loch verschieden sind. Betrachtet man zwei solche 



