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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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Gletsciicit(i|)te von Bereiult a. a. O. ;i;-leichtalls erwhnten 

 g-oldenen Anssicht" in Hain. Seinen Namen trgt er 

 von der aus der Ferne bei richtiger Seitenbclcuchtung 

 allenfalls an eine menschliche Gestalt erinnernden Form 

 seiner IJlende. In der That ist er gerade wie unsere hier 

 auf dem Adlerfels in Rede stehende Platte, nichts anderes 

 als ein bei der Zerstrung- der Felskuppe, deren Ober- 

 flche seine jetzige Seitenflche l)ildete, auf die Seite 

 gekippter Felsblock mit einem Doppelstrudelloeh, oder 

 einem Zwillings-Gletschertopf. Ja die Aufeinanderhufung 

 der die Felsgruppe bildenden Blcke, welche durch 

 Menselienhaml sicher nie bewegt worden sind, weist auch 

 ilort sehr nachdrcklich auf die Annahme eines dabei 

 thtigen ScIiuIk-s durch Gletschereis hin. 



Professor Berendt in seiner schon mehrfach ange- 

 fhrten Abhandlung geht berhaupt uoch weiter mit seinen 

 Schlssen auf eine ehemalige Vereisung im Riesen- 

 gebirge, indem er dort wrtlich sehreibt: 



Wenn somit einerseits diese Blcke in ihrer Ver- 

 theilung auf Hohen und Kmmen, andererseits jene auch 

 aus den Angaben von 0])ferkesscln sich ergebenden, so 

 gut wie ausnahmslos als Gletsehertpfe sieh erweisenden 

 Strudellcher als Beweise einer ehemaligen Vergletscherung- 



in Anspruch genonnuen werden mssen, so lehj't ein Hlick 

 auf die Vcrtheilnng beider sofort, dass es sich bei dieser 

 Vergletscherung nicht nur, wie anfangs angcuonnnen 

 wurde, und wie auch unbedingt zu einer gewissen Zeit 

 der Fall gewesen sein muss, um einen grossen Schreiber- 

 hauer Gletscher und vielleicht daneben um eine Anzahl 

 kleiner Gletscher gehandelt haben kann, dass vielmehr 

 diese Vergletscherung im Bereiche des Riesengebirges 

 und somit wahrscheinlich der Sudeten berhaupt eine 

 weit allgemeinere gewesen ist." 



Nicht nur, dass die eigentlichen Gehnge des Ge- 

 birgskammes und die sich von ihm nordwrts zwischen 

 den einzelnen Ripjjcn hinabziehenden Senken ganz mit 

 Eis bedeckt und erfllt gewesen sein mssen. Auch diese 

 Rippen selbst und die sich bis zum IJober erstreckenden 

 Vorberge mssen hiernach unter Eisdecke gelegen haben." 



Das wrde unter Umstnden hier ein eigenes zu- 

 sammenhngendes Inlandeis an der Nordseite des Riesen- 

 gebirges ergeben, wie es nur in grsserem Maass- 

 stabe die Glacialforschungen fr die Alpen lngs des 

 Nordfusses derselben schon lnger fr die Ostalpen, 



ergeben haben." 



X. 



aber auch nicht gerade seit 



langem 



Ueber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome. 



Was nun die zweite Frage von Helmholtz' in Betreff 

 der Beweisbarkeit der Axiome anbelangt, so haben wir 

 hierauf nur zu erwidern, dass jeder Beweis Voraus- 

 setzungen verlangt, die in letzter Reihe der Organisa- 

 tion unseres Denkens gemss als nicht mehr beweisbar zu er- 

 achten, somit Sache der Anschauung- sind. Hieraus folgt 

 aber, dass wir nichts weiter verlangen knnen, als dass 

 ein Axiom in Folge der Klarheit der Anschauung und der 

 Schrfe der ihm zu Grunde liegenden Begriffe sich un- 

 serem Geiste als eine nicht anders zu denkende That- 

 sache, d. h. als eine subjective Wahrheit aufdrngt, als 

 eine Uebereinkunft des logischen Denkens unseres Ich 

 und der auf dieses einwirkenden Wahrnehmungen. So 

 knnen wir z. B. den Begriff der geraden Linie,, obwohl 

 wir eine unverkennbar deutliche Anschauung- von ihr be- 

 sitzen, dennoch nicht deliniren, es sei denn durch nichts 

 anderes sagende Umschreibungen, womit fr unsere Er- 

 kenntniss keine Bereicherung erwchse 



Der Begriff der 

 geraden Linie schliesst aber den des krzesten Weges in 

 sich, wie das schon aus der einfachen Betrachtung 

 erhellt, dass z. B. eine Seite a h eines Dreiecks u h c nicht 

 die mindeste Berechtigung htte, wenn wir nicht unter der 

 Seite ab den krzesten Weg von nach h verstnden. 

 Es ist daher ein Fehler in der Mathemathik, wenn man 

 den Satz: der krzeste Weg zwischen zwei Punkten ist 

 die gerade Linie, wie dies blich ist, daraus zu beweisen 

 sucht, dass in demselben Dreiecke dem grsseren Winkel 

 auch die grssere Seite gegenberliegt, da, um es noch- 

 mals jirgnant hervorzuheben, man bei diesem Beweise 

 schon den Begriff der geraden Linie, des krzesten Weges 

 zwischen zwei Punkten also, einschmuggelt. 



In entsprechender Weise gengt mir z. B. die zwin- 

 gende Vorstellung, dass wenn ich eine (gerade) Ebene 

 um eine (gerade) Linie schwenke, der ganze Raum von 

 der Ebene durchlaufen werden nmss, um einzusehen, dass 

 durch drei Punkte, die nicht in einer geraden Linie liegen, 

 stets eine gerade Ebene und zwar nur eine einzige ge- 

 legt werden kann. So gengt die einleuchtende De- 

 finition: dass gleichlaufende Linien solche Linien sind, 



\'<jn Dr. Eugen Dreher. 



(Schluss.) 



die, wenn sie auch nur e i n e n Punkt gemeinsam besitzen, 

 zusammenfallen mssen, um alle Lehrstze von den ver- 

 schiedenen Winkeln an parallelen Linien, welche von 

 einer dritten geschnitten werden, wie die von gleich- 

 liegenden Winkeln, von Wechselwinkeln u. s. w. mit Leich- 

 tigkeit bei Zuhlfenahme der Deckung der Winkel ein- 

 fach und einleuchtend zu beweisen. 



Hierbei verkenne ich als Psychologe nicht, dass das- 

 jenige, was fr mich durchaus einleuchtend ist, einem An- 

 dern keineswegs so berzeugend und zwingend wie mir 

 entgegenzutreten braucht. So ist es denn auch sehr gut 

 denkbar, dass der Eine bereitwilligst denjenigen Lehrsatz 

 als einen Grundsatz anerkennt, fr den ein Anderer 

 einen Beweis seinem Denken zufolge verlangt. Dass 

 diese I5etrachfung fr den Pdagogen von Wichtigkeit 

 ist, bedarf kaum der Erwhnung. Wer daher in die 

 Tiefen der Mathematik eindringen will, muss sich prfen, 

 welche Lehrstze ihm als Axiome einleuchten, und fr 

 welche er einen Beweis verlangt. So suchte ich als 

 Schler, um hier nur ein Beispiel aus einer der Mathe- 

 mathik hchst verwandten Wissenschaft anzufhren, nach 

 einem Beweise fr den Satz, dass so viele Anstcisse auf 

 einen Punkt auch einwirken mgen, er nur Einer Re- 

 sultirenden folgen kann, den ich auch auf indircctem AVege 

 fand. Heute, w'o es mir klar ist, dass ich mir kein 

 Geschehen, welcher Natur es auch sein mag, ohne hin- 

 reichenden Grund vorstellen kann, verlange ich keinen 

 Bew^eis fr den genannten Satz. 



In dem \orlier angefhrten Vortrag ber den Ursprung 

 und die Bedeutung- der geometrischen Axiome erwhnt 



nun von Helmholtz in Betreff der Congruenz der Raum- 

 gebilde: 



Die Grundlage aller Beweise in der Euklidischen 

 Methode ist der Nachweis iler Congruenz der betreffenden 

 Linien, Winkel, ebenen Figuren, Krper u. s. w. Um die 

 Congruenz anschaulich zu machen, stellt man sich vor, 

 dass die betreffenden geometrischen Gebilde zu einander 

 hinbewegt werden, natrlich ohne ihre Form und Dimen- 

 sionen zu verndern. Das dies in der That mglich und 



