Redaktion: 7 Dr. H. Potonie. 

 Verlag: Ferd. Dmmlers Verlagsbuchhandlung, Berlin SW. 12, Zimmerstr. 94. 



Mathematische Spielereien in kritischer und historischer Beleuchtung*). 



Von Prf. Dr. H. Schubert. 



VII. Ucber magische Quadrate. 



A. Einleitendes. Auf dem Meiaiiclinlie" g'e- 

 iiannten Holzschnitt des berhmten Nrnbei-ger Malers 

 Albrecht Drer betindet sicii als Attribut u. a. das 

 folgende Quadrat: 



Diese Anordnung der IG Zahlen von 1 bis I hat die 

 merkwrdige Eigenschaft, dass sich stets dieselbe Summe 34 

 ergiebt, gleichviel, ob man die 4 in einer horizontalen 

 Keihe stehenden Zahlen addirt, oder ob mau die 4 Zahlen 

 einer verticalen Reihe oder auch die 4 Zahlen in jeder 

 der beiden Diagonalen zusammenzhlt. Man nennt eine 



*) Naclitras zu dem Problem der 15 Pensionats- 

 Dainon (Bd. VII S. 307 ff.) Naebtraulich les icli in den 

 Itiicre.ations" V(m E. Lucas, dafs das genanute Prolilom im Jahre 

 1851 zuerst gestellt sein soll, und zwar von Kirclimann, demselben 

 Matliomatiker, der sich um das Pascarsclie He.vagrammum mysti- 

 cum grosso Verdienste erworben hat. Nachdem der englische 

 Matliematiker C'avley und der amerikani.sclie Mathematiker Syl- 

 vc'Sti'r darber kleine Untersuchungen verffentlicht hatten, gab 

 Herr Frost im ,,(,!uaterly .Journal of iiure and apjilied Matliematics" 

 (No. 41, Cand)ridge 1870) eine methodische Lsung, die aui-h auf 

 alle Flle passt, wo ilie Zahl der Damen um 1 kleiner ist, als 

 eine Potenz von 2 mit gera<lem Kx|)onenten. Doch wrde die 

 Mittheilung dieser Lsung hier zuviel Kaum kosten. In anderer 

 Weise, als Frost, hatte auch Benjamin Peirce, Professor an der 

 Harvard-Universitt, das Problem gelst und seine Lsung ISfiO 

 in dem Astrononncal .lournal de Gould", Band G, S. IG!) bis 174. 

 verffentlicht. 



solche Anordnung von Zahlen ein magisches Quadrat, 

 und das obige Quadrat ist das erste magische Qua- 

 drat, das im christlichen Abendlandc auftritt. 



Wie das Schachspiel selbst und viele der auf die 

 Figur des Schachbretts bezglichen Aufgaben i.st auch die 

 Aufgabe, ein magisches Quadrat herzustellen, wahrschein- 

 lich auf indischem l'.oden gewachsen. Von da gelangte 

 die Aufgabe zu den Arabern, und von ihnen zu den Ost- 

 rmern. Endlich haben sich seit Albrecht Drer auch 

 die west-curoi)ischen Gelehrten mit den Methoden zur 

 Herstellung solcher Quadrate beschftigt. Das lteste uud 

 einfachste magische Quadrat besteht in der quadratischen 

 Anordnung der 9 Zahlen von 1 bis 9, so dass die Summe 

 in jeder horizontalen, verticalen oder diagonalen Reihe 

 stets dieselbe, nmlieh 15, wird. Dieses Quadrat sieht 

 so aus: 



In der That kommt immer 15 heraus, gleichviel ob 

 man 2 und 7 und (5, oder 9 und 5 uud 1, oder 4 und .'! 

 und 8, oder 2 und 9 und 4, oder 7 und 5 und 3, oder 

 G und 1 und 8, oder 2 und 5 und 8, oder G und 5 und 4 

 addirt. Es liegt die Frage nahe, ob diese Medingung 

 der berall gleichen Summe auch dann erfllt werden 

 kann, wenn man den Zahlen andere Pltze anweist. 



Es lsst sich jedoch zeigen, dass nothwendiger Weise 

 5 die Mitte Ijilden muss, und dass die geraden Zahlen 

 in den Ecken stehen mssen. Dadurch sind noch weitere 

 7 Anordnungen miiglich, die sich aber von der obigen 

 und unter einander nur dadurch unterscheiden, dass man 

 die Reihen oben, links, unten, rechts mit einander ver- 



