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Natiijwisscnschaftliclic Woclicnsclivift. 



Nr. 2-2 



tausclit und sicli zu .jeder Anordnuiii;' noch das Spiegel- 

 bild liinzudcnkt. Aiieii aus dem Drer'sclien (Quadrat von 

 4 mal 4 Feldern lassen sich durch Umsetzungen nocli eine 

 ganze Reihe neuer riclitiger (Quadrate bilden. Auf ein- 

 fachste Weise bildet man ein magisches (Quadrat der 

 4 mal 4 Zahlen von 1 bis 16 folgcndermaassen. Man 

 schreibt sieh die Zahlen von 1 bis I in natrlicher 

 Reihenfolge in die Felder ein, also so: 



Dann lsst man die Zahlen in den 4 Eckfeldern, 

 also 1, 4, 13, 16 ebenso wie die Zahlen in den 4 Mittel- 

 feldern, also 6, 7, 10, 11 an ihrer alten Stelle; statt der 

 brigen 8 Zahlen schreibt man aber ihre Ergnzungen 

 zu 17, also 15 statt 2, 14 statt 3, 12 statt 5, 9 statt 8, 

 8 statt 9, 5 statt 12, 3 statt 14 und 2 statt IT). So er- 

 hlt man das magische Quadrat: 



''t. 



% 





34 34 34 34 



aus dem sich berall dieselbe Summe 34 ergiebt. inter- 

 essant ist an diesem Quadrat, dass auch immer 4 Zahlen, 

 welche um die Mitte herum ein Rechteck oder ein Qua- 

 drat bilden, die Sunnne 34 liefern, z. B. 1, 4, 13, 16, 

 sowie 6, 7, 10, 11, sowie 15, 14, 3, 2, sowie 12, 9, 5, 8 

 oder auch 15, 8, 2, 9 oder 14, 12, 3, 5. Man berzeugt 

 sich leicht, dass dieses Quadrat aus dem von Albrecht 

 Drer hervorgeht, wenn man die beiden mittleren Ver- 

 ticalrcihcn mit einander vertauscht. 



B. Aeltere Bildungsweisen fr ungerade 

 Feld erzhl. Schon seit alter Zeit kennt man Vor- 

 schriften, um magische Quadrate auch von mehr als 3 mal 3 

 oder 4 mal 4 Feldern zu bilden. Zunchst lsst sich leicht 

 die Summe berechnen, die sich bei einer gegebenen Zahl 

 von Feldern aus jeder Reihe ergeben muss. Liegt 

 nmlich an jeder Seite des auszufllenden Quadrats eine 

 gewisse Zahl von Feldern, so hat man diese Zahl mit sich 

 .selbst zu multipliciren, 1 hinzuzuzhlen, die erhaltene Zahl 

 wieder mit der Felderzahl an jeder Reihe zu multipliciren 

 und dann die Hlfte zu nehmen. So ergiebt sich bei 

 4 mal 4 Feldern: 4 mal 4 sind 16, 16 und 1 sind 17, 

 und die Hlfte von 17 mal 4 giebt 34. Ebenso konnut 

 bei 5 mal 5 Feldern: 5 mal 5 sind 25, 1 dazu giebt 26, 

 dann die Hlfte von 2() mal 5 giebt 65. Weiterhin kommt 

 fr 6 mal 6 Felder: 111 als Sunmie, fr 7 mal 7 Felder: 175, 

 fr 8 mal 8 Felder: 260, fr 9 mal 9 Felder: 369, fr 10 mal 

 10 Felder: 505 u. s. w. Die indische Vorschrift fr die 

 Herstellung solcher magischer Quadrate, die 'eine un- 

 gerade Anzahl von Feldern an jeder Seite des Quadrats 

 haben, lsst sich folgendcrmaassen aussprechen: Mau 

 schreibe 1 in die Mitte der obersten Reihe, dann 2 als 

 unterste Zahl der rechts daneben befindlichen Vertical- 



reihe und schreibe dann die weiteren Zahlen in ihrer 

 natrlichen Reihenfolge, diagonal nach rechts oben so ein, 

 dass man nach Erreichung des rechten Randes, am linken 

 Rande in der darber befindlichen Reihe fortfhrt, und 

 nach Errcichiuig des oberen llandes, am unteren Rande 

 in der rechts daneben befindlichen Reihe die Zhlung 

 weiterfhrt, wobei nur noch zu beachten ist, dass man, 

 wenn man auf ein schon besetztes Feld stsst, statt dessen 

 das Feld ausfllt, das unter dem zuletzt ausgefllten sich 

 befindet. Auf diese AVcise ist z. B. das folgende magische 

 (^)nadrat von 7 mal 7 Feldern gebildet, in dem man die 

 Zahlen in ihrer natrlichen Reihenfolge verfolgen mochte: 



<(- 



175 



I7r) 



175 

 175 

 17.5 

 175 

 175 



175 175 175 175 175 175 175 



Eine weitere Frderung der Theorie der magischen 

 Quadrate und der Methoden zu ihrer Herstellung ver- 

 danken wir dem Byzantiner Moschopulos im 14. Jahr- 

 hundert, ferner noch AIhrecht Drer, der um 1.500 lebte, 

 dem berhmten Rechenmeister Adam Riese und dem 

 Mathematiker Michael Stifel, die um 1550 lebten. Im 

 17. Jahrhundert beschftigten sich mit den magischen 

 Quadraten Bachet de Meziriac und Athanasius Kircher. 

 Um 1700 endlich frderten die Theorie erheblich die 

 franzsischen Jlathematiker De la Hire und Sauveur. In 

 neuerer Zeit bekmmerten sich die Mathematiker weniger 

 um die magischen Quadrate, wie l)erhaupt um derartige 

 Unterhaltungsaufgaben. Doch fasste in jngster Zeit der 

 Braunschweiger Mathematiker Scheft'lcr seine und Anderer 

 Studien ber magische Quadrate in eleganter Weise zu- 

 sammen. Am bekanntesten von den verschiedenen Me- 

 thoden, magische Quadrate mit ungerader Felderzahl zu 

 formircn, ist das folgende. Man schreibe die Zahlen nach 

 einander in folgender Weise diagonal : 



