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Niiliuwisseiisuliaftliclic Woclieusclirift. 



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Nachdoiii man so 25 Felder dei zu tlleiidcii <hia- 

 drats von 4',t Feldern au.sj;e fllt hat, setze man die an 

 jeder Quadratseite ausserhalb bctindlieheu Zahlen, ohne 

 die Fii;ur derselben zu ndern, genau in die an der Gegen- 

 seite l)elindlieheu leer gebliebenen Felder. Nach dieser 

 von liachet de Meziriae herrhrenden iMetliode entsteht 

 das folgende niagisehe Quadrat der Zahlen von 1 bis 49: 



ungerade 



C Neuere llildungsweisen fr 

 Felderzahl. Mit Recht wird der Leser fragen, ob es 

 nicht noch richtige magische Quadrate giebt, die auf 

 audcre Weise, als auf die eben angegebene, gebildet 

 werden, und ob es niciit Bildungsverfaliren giebt, die auf 

 alle (lenkl)ar('n niagisclien Quadrate von bestinnnter Felder- 

 zaid fhren. Fr ungerade Felderzald ist ein solches 

 allgemeines IJildungsvertahren zuerst von De la Hire an- 

 gegeben und jngst von Herrn Schefi'ler vervollkonnnnet. 

 Um dieses Verfahren kennen zu lernen, whlen wir das 

 Beis])iel von 5 mal 5 Feldern. Zunchst formiren wir zwei 

 nilfs(iuadrate. In das erste schreil)en wir fnf mal die 

 Zahlen von 1 bis 5, in das zweite die Vielfachen von 

 fnf: U, f), l, li"), 20. Es ist nun klar, dass durch Ad- 

 direu jeder der Zahlen von 1 bis 5 mit jeder der Zahlen 

 0, 5, 10, 15, 20 alle 25 Zahlen von 1 bis 25 entstehen. 

 Es handelt sich also bloss noch darum, die Zahlen so 

 einzuschreiben, dass durch Addition der beiden Zahlen in 

 zwei entsjirechend liegenden Feldern auch wirklich jede 

 Zusaninienstellung einmal und auch nur ciimial heraus- 

 kommt, und dass ferner in jeder horizontalen, verticalen 

 und diagonalen Reihe in jedem Hilfsquadrat jede Zahl 

 auch wirklich erscheint. Dann muss die erforderliche 

 Summe 65 erscheinen, weil die Zahlen von 1 bis 5 zu- 

 sanniien 15 und die Zahlen 0, 5, 10, 15, 20 zusammen .50 

 ergehen. Mim erreicht die eribrderliclic Art der Ein- 

 schreibung dadurch, dass man sich die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 

 (oder 0, 5, 10, 15,20) cyldisch denkt, d. h. auf 5 folgend 

 wieder 1, und dass man nun, von irgend einer Zahl aus- 

 gehend, entweder keine, oder immer eine, otler immer 

 zwei u. s. w. Zahlen berspringt. 8o entstehen Cyklen 

 der ersten, zweiten u. s. w. Ordnung, z. B. 3, 4, 5, 1, 2 

 ist ein Cyklus erster Ordnung, 2, 4, 1, 3, 5 ist zweiter 

 Ordnung, 1, 5, 4, 3, 2 ist vierter Ordnung. Man hat nun 

 bei beiden Hilfsquadraten nur darauf zu achten, dass 

 horizontal in allen Reihen dieselbe Cyklus-Ordnung fest- 

 gehalten wird, dass dasselbe auch in den verticalen Reihen 

 geschieht, dass aber die Cyklus-Ordnung horizontal und 

 vertical verschieden ist. Endlich hat man nur noch darauf 

 zu achten, dass zu denselben Zahlen des einen Hills- 

 (|uadrats in dem andern Hilfsciuadrat nicht gleiche 

 Zahlen, sondern verschiedene Zahlen zugehoren, d. h. 

 in ebenso liegenden Feldern stehen. Mglich sind also 

 etwa folgende llilfsquadrate: 



II II <I 



Adtlirt man ilie in gleichlicgenden Feldern stehenden 

 beiden Zahlen, so erhidt man das richtige maj^isehe 

 Quadrat : 



Man erkennt, dass man so eine grosse Menge von 

 magischen Quadraten von 5 mal 5 Feldern bilden kann, 

 wenn man die Zahlen in den beiden Hilfsquadraten auf 

 alle nniglirlie ^\'eise variirt. Zudem haben die so ent- 

 stehenden Quadrate noch die besondere Eigenthmlichkeit, 

 dass je 5 Zahlen, welche zwei Reihen ausfllen, die einer 

 Diagonale parallel sind und auf verschiedenen Seiten der- 

 selben liegen, auch die coustante Sunnne 65 liefern, z. B. 

 3 und 7, 11, 20, 24 oder 10, 14 und 18, 22, 1. Es ent- 

 steht also die Sunnne 65 im fianzen aus 20 Reihen oder 

 Reiheupaaren. Mit dieser Eigenthndichkeit hngt zu- 

 sammen, dass, wenn man neben oder ber oder unter ein 

 solches (Quadrat dasselbe immer nochinal wieder angesetzt 

 denkt, beliebig viele (|ua(lratisch geordnete Felder der- 

 artig erscheinen, dass immer das Quadrat aus je 25 von 

 diesen Feldern ein richtiges magisches Quadrat bildet, 

 wie aus folgender Figur ersichtlich ist: 



Jedes Quadiat von je 25 dieser Zahlen, wie z. B. 

 die beiden fett um/.iiunten (^uadrate, hat die EigenschafI, 

 dass beim Zusannnenziihlen der horizontalen, verticalen 

 und diagonalen Reihen dieselbe Summe 65 herauskommt. 



Um auch ein Beispiel fr eine hhere Anzahl von 

 Feldern zu geben, folgt hier noch ein aus zwei llfs- 

 quadraten nach der allgcnu'inen JEethode von De la Hire 

 gebildetes magisches t^uadrat von 11 null 11 Feldern; 



