Nr. 22. 



Naturwissciisclialt liehe Woelieusclirift. 



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Wenn man nun aber ver.suclit, die andere Zalden- 

 gnij)|)e , 6, 12, 18, 24, 30 in ein zweites iiilt's(iuadrat 

 auf iilniliehe Weise so einzuf.ucn, dass jede Zahl des 

 ersten llilts(|uadrats mit jeder Zahl des zweiten einmal 

 und nur einmal in entsjireehenden Feldern steht, so er- 

 geben sich alle Versuche, diese zweite Hedingung gleich- 

 zeitig' zu erfllen, als erfolglos. Deshalb ist es ntliig, 

 s(dche Ililfsquadrate, wie die beiden obigen, zu whlen. 

 Eigenthndieh ist es, dass nur bei 6 mal Feldern die 

 Erfilnng der zweiten Bedingung unmglieii ist, dass aber 

 z.U. bei 4 mal 4 oder S mal S Feldern zwei llilfs(iuadrate, 

 wie die Methode des De la llire sie verlangt, mglieh 

 sind, nmlich bei 4 mal 4 Feldern : 



Das hieraus resultirendc magische Quadrat wird sieh 

 der Leser selbst bilden knnen. Die Existenz dieser beiden 

 llilfs(|uadratc verursacht die Lsbarkeit einer hbschen 

 Karten- Aufgabe. Ersetzt man nndieh die Zahlen 1, 2, 3, 4 

 durch Ass, Knig, Dame, ube, und die Zahlen 0, 4, 8, 12 

 durch die Farben Tretf, Pitiue, ('oeur, Caro, so erkennt 

 man, dass es gelingen muss, die 4 Ass, die 4 Knige, 

 die 4 Damen und die 4 Buben quadratisch so anzuordnen, 

 dass in jeder horizontalen, verticalen und diagonalen Keilie 

 jede der vier Farben und jeder der vier Werthe 

 gerade einmal, also auch nur einmal, vorkonnnt. Die 

 obigen Hilfsquadrate ergeben folgende L<isung dieser 

 Aufgabe: 



Um die Lsung dem Gedehtniss einzuprgen, beachte 

 man, dass von jeder Ecke aus jede Farbe ebenso, wie 

 jeder Wcrtli in einem Rsselsprung, gelegt werden nuiss. 

 Legt mau die 4 Karten einer Reihe fest, so giebt es nur 



zwei Mglichkeiten, die andern Karten so hinzulegen, 

 dass in jeder Reihe jede Farbe und jeder Werth vor- 

 konnnt. 



Bisher haben wir von magisciien (Quadraten mit gerader 

 Stellcnzahl nur solche von -1 mal 4 und von ti mal (> Feldern 

 kennen gelernt. Der Vollstndigkeit wegen lassen wir 

 hier noch eins mit 8 mal 8 und eins nnt lU mal l Feldern 

 folgen. Die Bildungsweise dieser Quadrate ist hnlich 

 der oben bei niederer gerader Feldcrzahl errterten 

 Methode. 



Die so gebildeten magischen Quadrate mit gerader 

 Stellenzahl sind nicht die einzigen; es giebt vielmelu- noch 

 viele, die andern Bildungsgesetzen geliorchen. 8o hat 

 man berechnet, dass bei 4 mal 4 Feldern S8, bei (> mal (3 

 Feldern al)cr schon viele Millionen verschiedener magischer 

 Quadrate mglich sind. Sehr gross wird auch die Zahl 

 der nach De la Ilire's Methode formirtcn magischen Qua- 

 drate mit ungerader Stellenzahl. Deren giebt es bei 

 7 mal 7 Feldern schon .'k! Millionen und '.Hl') SOG. Noch 

 ungeheurer wird die Anzahl der Mglichkeiten bei Iniiierer 

 Felderzahl. (Fortsetzung folgt.) 



Ueber die Silieiiopli,vUaceeii sind im vorigen Jahre 

 wichtige Untersuciiungen vcrtfcntlicht w(n-den, die ber 

 die systematische Stellung dieser cigenthiindichcn (irui)|)e 

 etwas mehr Aufsehluss zu geben in der Lage sind, als 

 unsere bisherigen Kenntnisse. Zur Orientirung ber diese 

 l'flanzcn ist sehr zu empfehlen Solnis-Laubach's Einleitnng 

 in die Palaeoi)liyt(dogie von 1887 (S. 352 304), in wid- 

 chem Werk die wichtigste Litteratur bis 188G berck- 



sichtigt und angegeben ist. Nach dem Erscheinen des 

 Solms-Lauliach'sclu'n Buches haben aber Zeil 1er und 

 WilliamsonMittheilung engebraeht, die einen ganz wesent- 

 lichen Fortschritt in unserer Kenntniss der genannten 

 Gruppe bedeuten. Zeiller's Abhandlung erschien in den 

 Goni. rend. de l'Acad. des sc. in Paris im Juli 18il2 und 

 Wdliamson giebt in der englischen Wochenschrift Naturc" 

 vom 3. November 182 (S. 11 13) eine kurze Zusannnen- 



