Nr. 23. 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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usserste*) Blasenschicht eines vacuolisirten Rhizopoden- 



*) Es soll natrlich nicht gesagt sein, dass die Skeletthildung 

 immer gerade im Bereiche der ussersten Vaciiolcnlage stattfindet, 

 im Gegentheil scheint es uns wahrscheinlich, dass dies hufig 

 einige Vacuolenlagen weiter nach innen geschieht. Wir haben 

 fr unsere Figur nur deshalb eine usserste Blasenschiclit gewhlt, 

 weil \\ ir in derselben auch einige fr eine solche eigentluindiche 

 Skclettbildungeu [a, h) unterbringen wollten. 



krpcr.s darstellen. Nach aussen knnen sich die Vacuolen 

 als runde Kuppeln frei iiervorwlben, seitlich drcken 



sie sich gegenseitig iiach, 

 die skelettogene Schiciit 

 etwas weiter nach unten 

 Vacuolenschicht folgen. 



unten ist das Netz der in 

 teilenden Wandpartien, noch 

 wrde dann die nchstinnere 



(Schliiss folgt. 



Mathematische Spielereien in kritischer und historischer Beleuchtung. 



Von Prof Dr. IL Sc hu bort. 

 (Fortsetzung.) 



E. Magische Jahreszahl-Quadrate. Die bis- 

 her betracliteten Zaubenjuadrate enthielten inuner nur die 

 natrliclien Zahlen von 1 an aufwrts. ]\lan kaiui jedoch 

 ans einem richtigen magischen Quadrate leielit andere ab- 

 leiten, bei denen ein anderes Gesetz in der Reihenfolge 

 der einzuschreibenden Zahl niaassgebend ist. Beispiels- 

 weise knnte man nur die ungeraden Zaiden einsehreiben. 

 Von derartig abgeleiteten Zauber(iuadraten wcdlen wir 

 hier nur diejenigen kennen lernen, bt'i denen zwar auf- 

 einanderfolgende Zahlen eingeschriel)en sind, als .Summe 

 der Reihen aber eine gewisse gewiinsciite Zahl, etwa eine 

 Jahreszahl, erscheint. 



Dann hat man einfach zu den Zaien des ursprng- 

 lichen Quadrats eine bestinnnte zu berechnende Zahl hin- 

 zuzuzhlen, damit die verlangte Summe herauskommt. Ist 

 dieselbe durch drei theilbar, so giebt es immer magische 

 Quadrate mit dreimal drei Feldern, die diese Summe er- 

 geben. Dann liat man die letztere durch drei zu divi- 

 diren, und von dem Resultat 5 abzuziehen, um die Zahl 

 zu erhalten, die man zu jeder Zahl des ursprnglichen 

 Quadrats hinzuzuzhlen hat. Ist die gewnschte Summe 

 gerade, aber nicht durch 4 theilbar, so hat man 34 ab- 

 zuziehen, und dann den vierten Theil zu nehmen, um die 

 Zahl zu erlialten, die man berall addiren nuiss. Will 

 man also z. B. die Jahreszahl 1890 als Summe jeder 

 Reihe erhalten, so hat man 464 zu jeder Zahl eines ge- 

 wrdiniiehen magischen Quadrats mit viermalvier Feldernzu 

 addiren, mit andern Worten, man hat statt der Zahlen von 

 I bis 16, die von 465 bis 480 in die Felder einzufgen. 

 Da die jetzige Jahreszahl 1892 durch 11 theilbar ist^ so 



Zauberquadrat ber die Jahreszahl 1892. 



18;)2 



1892 



is;)2 



18i)2 

 18U2 

 18;)2 

 1892 

 1892 

 1892 

 189-2 

 1892 



1892 1892 1892 1882 1892 1892 1892 189J 1892 1892 1892 



muss es gelingen, aus dem am Schluss von C von uns 

 fiirmirten Zauberciuadrate ein solches altzuleiten, bei dem 

 jede Reiiie von 11 Feldern die Jahreszahl 1892 er- 

 giebt. Wir ziehen zu diesem Zweck die Summe des Ori- 

 ginalquadrats 671 von 1892 ab, und dividiren den Rest 

 durch 11, wodurcii wir 111 erhalten und daraus erkennen, 

 dass die Zahlen von 112 bis 232 in die Felder einzu- 

 sclirciben sind. So entsteht das folgende Quadrat, 

 aus welchem 44 mal ein und dieselbe Summe, 

 nmlich 1892 erlialten werden kann, nmlich 

 erstens aus jeder der 11 horizontalen Reihen, 

 zweitens aus jeder der 11 vertikalen Reihen, 

 drittens aus den beiden diagonalen Reihen und 

 viertens noch 20mal aus je zwei Reihen, die, 

 einer Diagonale parallel, zusammen 11 Felder 

 haben und auf versehi edenen Seiten dieser Dia- 

 gonale liegen, wie z. B. 196, 122, 158, 205, 131, 167, 

 214, 140, 187, 223, 149. 



F. Ineinanderliegende magische Quadrate. 

 Der Scharfsinn der Mathematiker hat auch magische Qua- 

 drate gefunden, welche die Eigenthmlichkcit haben, dass, 

 wenn man nacheinander am Rande je eine Reihe fort- 

 ninmit, das brig bleiliende kleinere Quadrat noch immer 

 ein magisciies ist, d. h. die Eigenschaft hat, dass alle 

 Reihen dieselbe Sunnne ergeben. Es mag hier gengen, 

 von solchen Quadraten, die ein komplizirteres Bildungs- 

 gesetz haben, zwei Beispiele zu liefern, von denen das 

 erste 7 mal 7, das zweite 8 mal 8 Felder hat. Die 

 Zahlen in jeder Unn-ahmung bilden um die Mitte herum 

 Quadrate, die wieder fr sich magisch sind. 



Bei dem ersten dieser Quadrate enthlt das inwendige 

 Quadrat von 3 mal 3 Feldern die Zahlen von 21 bis 29 

 derartig, dass jede Reihe die Summe 75 ergiebt. Dieses 

 (Quadrat liegt in einem grsseren von 5 mal 5 Feldern, 

 welches die Zahlen von 13 bis 37 derartig enthlt, dass 

 jede Reihe die Summe 125 liefert. Endlich ist dieses 

 Quadrat wieder Theil eines Quadrats mit 7 mal 7 Feldern, 

 das die Zahlen von 1 bis 49 derartig enthlt, dass jede 

 Reihe die Summe 175 ergiebt. 



