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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Nr. 23. 



Bei dem zweiten Quadrat enthlt das inwendige 

 Quadrat von 4 mal 4 Feldern die Zahlen von 25 bis 40 

 derartig-, dass jede Reihe die Summe 130 ergiebt. Dieses 

 Quadrat ist die Mitte eines Quadrats von 6 mal 6 Fel- 

 dern, das die Zahlen von 15 bis 50 derartig- enthlt, dass 

 jede Reihe die Summe 195 liefert. Endlicii ist dieses 

 Quadrat wieder die Mitte eines gewhnlichen magischen 

 Quadrats der Zahlen 1 bis 64. 



G. Magische Quadrate mit magischen Thcilen. 

 Zerlegt mau ein Quadrat von 8 mal 8 Feldern durch 

 die beiden, den Seiten parallelen Mittellinien in 4 Theile 

 von je 4 mal 4 Feldern, so kann man die Aufgabe 

 stellen, die Zahlen von 1 bis 64 so einzufgen, dass nicht 

 allein das Ganze ein magisches Quadrat vorstellt, sondern 

 dass auch jeder der 4 Theile fr sich magisch ist, d. h. 

 dieselbe Summe aus jeder Reihe liefert. Auch diese Auf- 

 gabe hat man zu lsen vermocht, wie folgendes Beis])icl 

 zeigt. 



Hier liefern die vier Zahlen in jeder Reihe eines 

 Theil-Quadrats die Summe 130, sodass" die Summe jeder 

 Reihe des grossen Quadrats 260 ergiebt. Endlich bieten 

 wir noch unsern Lesern ein ganz merkwrdiges Quadrat 

 der Zahlen von 1 bis 81. Dasselbe ist durch Parallelen 

 in neun Theile zerlegt, deren jeder neun aufeinanderfol- 

 gende Zahlen enthlt, die ein magisches Quadrat fr sich 

 bilden : 



So wunderbar die Eigenschaften dieses Quadrats er- 

 scheinen, so einfach ist das Gesetz, nach welchem der 

 Verfasser dieses Quadrat gebildet hat. Man hat nmlich 

 nur die neun Theile als die neun Quadrate eines magischen 

 Quadrats der Zahlen I bis IX anzusehen und dann in das 

 mit I bezeichnete Quadrat die Zahlen von 1 bis 9, in das 

 mit II bezeichnete Quadrat die Zahlen ^on 10 bis 18 u. s. w. 

 magisch einzuschreiben. Dann entsteht das obige Quadrat 

 aus folgendem grundlegenden Quadrate: 



H. Magische Quadrate, die zugleich Rssel- 

 sprnge sind. Wer von den Lesern kennt nicht die in 

 den nterhaltungs-Zeitschriften enthaltenen Aufgaben, bei 

 denen es darauf ankommt, 8 mal 8 quadratisch geord- 

 nete Silben zu einem Verse zusammenzusetzen, dass je 

 zwei aufeinanderfolgende Silben in zwei Feldern stehen, 

 die derartig zu einander liegen, dass der Springer des 

 Schachspiels von dem einen zu dem andern springen 

 darf? f]rsetzt man dabei die aufeinanderfolgenden 64 

 Silben durcii die Zahlen von 1 bis 64, so erhlt man 

 einen Zahlen-Rsselsprung. Es giebt zwar auch Me- 

 thoden, derartige Rsselsprnge, die dann die Grundlagen 

 zu den Aufgaben in den Zeitschriften bilden, zusammen- 

 zusetzen. Doch werden die meisten solcher Rsselsprnge 

 mehr durch Probiren als methodisch geschaffen. Ist es 

 nun schon eine harte Geduldsprobe, durch Probiren einen 

 Rsselsprung zu formiren, so ist es natrlich eine noch 

 viel hrtere Geduldsprobe, zugleich dafr zu sorgen, dass 

 die den Rsselsprung bildenden 64 Zahlen auch noch ein 

 magisches Quadrat darstellen. Dieser Geduldsprobe hat 

 sich ein auf dem Lande lebender mhrischer pensionirter 

 Beamter, namens Wenzelides, vor mehreren Dezennien 

 unterzogen. Nach Jahre hindurch dauernden Versuchen 

 ist es ihm gelungen, in die 64 Felder des Schachl)retts 

 die Zahlen \on 1 bis 64 so einzuschreiben, dass die auf- 

 einanderfolgenden Zahlen, und auch 64 und 1, immer um 

 einen Springerzug abstehen, und dass ausserdem die hori- 

 zontalen und die vertikalen Reihen immer dieselbe Summe 

 260 ergeben. Er fand schliesslich mehrere solcher Qua- 

 drate, welche die Berliner Schachzeitung verffentlichte. 

 Das eine dieser Quadrate sieht so aus: 



Man beachte also sowohl den Rsselsprung wie auch 

 die Gleichsummigkeit der horizontalen und der vertikalen 

 Reihen. Was die diagonalen Reihen anbetrifft, so geben 

 sie nicht die Summe 260. Vielleicht verlockt es einen 

 unserer Leser, der Zeit und Geduld dazu hat, Wenzelides 

 noch zu bertreffen, indem er einen Rsselsprung schmiedet, 

 der nicht allein in den horizontalen und den vertikalen, 

 sondern auch in den beiden diagonalen Reihen die Summe 

 260 liefert. 



I. Magische Polygone. Bis jetzt haben wir nur 

 solche Erweiterungen des dem magischen Quadrate zu 

 Grunde liegenden Gedankens besprochen, bei denen die 

 geometrische Figur des Quadrats festgehalten ist. Man 

 kann jedoch auch Erweiterungen schaffen, bei denen statt 

 eines Quadrats ein Rechteck oder ein Dreieck, Fnfeck 

 n. s. w. auftritt. Ohne auf die Methoden zur Bildung 

 solcher Figuren nher einzugehen, wollen wir hier nur 

 einige von Herrn Schcff'ler gelieferte Beispiele solcher 

 magischen Polygone anfhren : 



1. Die Zahlen von 1 bis 32 lassen sich zu 4 mal 8 

 so in ein Rechteck schreiben, dass die langen horizontalen 

 Reihen die Summe 132 und die kurzen vertikalen Reihen 

 die Summe 66 geben, nmlich: 



