Nr. 23. 



Naturwissen.seliaftliclie Woclienscliril't. 



2.31 



2. Die Zahlen von 1 bis 27 lassen sich um einen 

 Punkt als gemeinsames Ceutiutn zu drei regulren Drei- 

 ecken gruppiren, so dass jede Seite des ussersten Drei- 

 ecks G Zahlen mit der Summe 96 und jede Seite des 

 mittleren Dreiecks vier Zahlen mit der Summe 61 ergiebt, 

 wie folgende Figur zeigt: 



26 3^61024 

 \ 20 9 11 



-27 



^/ 



\ \ 16 17 / / 

 \ 15 \ / 8 / 



22 \ I / / 



\ 7 12 13 / 



\ 19 / 



1 14 



3. Die Zahlen von 1 bis 80 lassen sich um einen 

 Punkt als gemeinsames Centrum zu vier Fnfecken for- 

 miren, sodass jede Seite des von innen ersten Fnfecks 

 zwei Zahlen, des zweiten Fnfecks vier Zahlen, des dritten 

 Fnfecks sechs Zahlen, des ussersten vierten Fnfecks 

 acht Zahlen enthlt. Die Summe der Zahlen jeder Seite 

 des zweiten Fnfecks betrgt 122, jeder Seite des dritten 

 Fnfecks 248 und jeder Seite des vierten Fnfecks 254. 

 Dazu kommt, dass auch die Summe von je vier Eckzahlen, 

 die mit dem Centrum in gerader Linie liegen, dieselbe ist, 

 nmlich 92. 



31 



' \ 

 26 54 



15. 



49 



\ 



10 '^\ 80 



76^ 3C 44, Xg 



50 / ifi \ ^2 



/ 71 /^\ 66 ^ 



/ .45 /' K^ 37^ 2 



\ 11 /'^ 60 -\ 14 / 



30 20 17 / 53 



\ 40 \ 56 59 / 43 / 



35 \ 21 * 64 / 48 



\ 69 \ 57 58 / 73 / 



6 \ 62 23 / 79 



\ 75 \ / 67 / 



77 \ 19 22-6318 / 8 



\ 41 38 / 



46 \ 33 



\ 12-39-6874 4213 / 



51 28 



\ / 



429 34 7 78 47 523 



4. Die Zahlen von 1 bis 73 lassen sich um ein Cen- 

 truni, in das die Zahl 37 geschrieben wird, zu drei Sechs- 

 ecken gruppiren, welche beziehungsweise 3, 5, 7 Zahlen 

 in jeder Seite enthalten und folgende hbsche Eigen- 



schaften haben. Jedes Sechseck liefert nicht allein durch 

 seine sechs Seiten, .sondern auch durch seine sechs Eck- 

 Durchmesser und seine sechs auf den Seiten senkrechten 

 Durchmesser immer dicsell)e Sunnne, welche fr das von 

 innen erste Sechseck 111, fr das zweite 185 und fr das 

 dritte 259 betrgt. 



Magisches Sechseck. 



1 5 6 70 60- 59 .58 



16-69 68 4 14-15 73 



K. Magische Wrfel. Mehrere Forscher, nament- 

 lich Koschansky (1686), Sauveur (1710), Hgel (1859) und 

 Scheffler (1882) haben das Priueip der magischen Qua- 

 drate von der Ebene auf den Raum ausgedehnt. Man 

 denke sich einen Wrfel durch Ebenen, die parallel den 

 Seitenflchen gehen und gleichen Abstand von einander 

 haben, in lauter wrfelfrmige Fcher getheilt, und dann 

 denke man sich die Aufgabe gestellt, den Fchern die 

 aufeinanderfolgenden natrlichen Zahlen so einzufgen, 

 dass jede Reihe von links nach rechts, jede von vorn 

 nach hinten, jede von oben nach unten, jede Diagonale 

 eines Quadrats und auch jede durch das Centrum des 

 Wrfels gehende Hauptdiagonale Zahlen enthlt, deren 

 Summe immer dieselbe bleibt. Fr dreimaldreimaldrei 

 Fcher lsst sich kein solcher magischer Wrfel herstellen. 

 Fr viermalviermalvier Fcher kann man es erreichen, dass 

 jede einer Wrfelkante parallele Reihe und jede Haupt- 

 diagonale die Summe 1.30 liefert. Um einen nuigischen 

 Wrfel mit 64 Fchern darzustellen, denken wir uns die 

 in die Fcher gehrigen Zahlen oben auf dieselben auf- 

 geschrieben, und dann je 16 Zahlen schichtenweise von 

 oben nach unten abgehoben. So erhalten wir vier Quadrate 

 von je 16 Feldern, die zusammen den magischen Wrfel 

 darstellen, wie folgendes Beisi)iel zeigt: 



Erste Seilicht von oben. Zweite Schiofit von oben. 



