Naturwissenschaftliche Rundschau. 



Wöchentliche Berichte 



über die 



Fortschritte auf dem aesammtgebiete der Naturwissenschaften. 



XVI. Jahrg. 



8. August 1901. 



Nr. 32. 



Die Gleichgewichtsfiguren pulverförmiger 



Massen. 



Von Professor Dr. Felix Auerbach in Jena. 



(Schlufs.) 



Kehren wir nun noch einmal zu den Pyramiden 



zurück! Die Isohypsen sind hier, wenn wir z. B. die 



quadratische Pyramide betrachten, Quadrate. Sie 



setzen sich also in der Hauptsache aus geraden Linien 



Fig. 1. 



zusammen, aber diese geraden Linien stofsen in Ecken 

 zusammen, und diese Ecken sind gewissermafsen 

 nach aufsen stark convexe Curvenstücke, etwa Kreis- 

 bogen mit äufserst kleinem Radius. Nach den Be- 

 trachtungen beim Kegel, richtiger gesagt beim Hyper- 

 boloid, wird aber nach oben zu, in dem Mafse, wie die 

 Isohypsenkreise kleiner werden, die Böschung kleiner 

 und schliefslich Null. Die Böschung der Pyramidenkan- 

 ten müfste also ebenfalls Null sein, was den Thatsachen 

 widerspricht. Dieser Widerspruch kann nur in einer 

 Weise sich lösen: die Kanten können in Wahrheit 

 keine scharfen Kanten sein. Man kann sogar aus 

 den bisherigen Betrachtungen ableiten, in welchem 

 Mafse sie abgerundet sein müssen, und findet dann u. a., 

 dals sie bei der dreiseitigen Pyramide relativ am 

 schärfsten, bei der vierseitigen schon schärfer u. 8. w. 

 sind. Aus der Abrundung der Kanten folgt schliefslich 

 ohne weiteres, dafs auch die Spitze abgerundet ist, 

 wenn auch lange nicht in dem Mafse wie beim Kegel. 

 Von den anderen Figuren, die ein principielles 

 Interesse darbieten, sollen hier nur drei noch kurz 



besprochen werden; die Quadrantenquadrat-Pyramide, 

 der elliptische Gratkegel und die Kreuzfigur. 



Bei allen bisherigen Figuren war die Böschung 

 entweder constant, oder sie nahm nach oben ab. 

 Kann es auch Fälle geben, in denen die Böschung 

 nach oben zunimmt? Es läfst sich zeigen, dafs dies 

 niemals für alle Böschungslinien rings um eine Figur 

 herum eintreten kann, sondern höchstens für einzelne, 

 wenn auch abgerundete Anstiegsgrate. Ein typisches 

 Beispiel hierfür erhält man, wenn man als Basis ein 

 Quadrat benutzt, das statt der vier geraden Seiten 

 vier nach innen gekehrte Kreisquadranten besitzt: 

 von den Ecken dieser Basis gehen Kanten aus , die 

 zunächst kaum, aber allmählich immer stärker an- 

 steigen, wobei sie sich gleichzeitig mehr und mehr ab- 

 runden, bis sie sich schliefslich zu einer abgerundeten 

 Kegelkuppe als oberstem Figurstück vereinigen ; aber 

 wie gesagt, das Steilerwerden nach oben gilt nur für 

 die Grate, nicht für die Anstiegslinien in den zwischen 

 ihnen liegenden Kehlungen. 



Sehr eigentümlich ist die Gleichgewichtsfigur 

 einer pulverförmigen Masse über der Ellipse als Basis. 

 Zunächst über dieser Basis freilich erhebt sie sich 

 allenthalben mit kegelähnlicher Böschung; aber an 

 die Stelle der Spitze tritt hier ein Längsgrat in der 

 Richtung der grofsen Ellipsenaxe, in der Mitte am 

 höchsten und schärfsten, nach beiden Seiten erst 

 langsam, dann schneller abfallend, dabei unscharfer 

 werdend und sich schliefslich ganz verlierend — das 

 Ganze in gewissem Sinne ein Mittelding zwischen 

 dem Kegel über dem Kreise und dem Dache über 

 dem Parallelstreifen. 



Von den complicirteren Formen schliefslich ist 



Fig. 2. 



