Nr. 43. 1901. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XVI. Jahrg. 555 



dafs sie sich als Paralleiprojectioneu eines räumlichen 

 Systems darstellen. Die Verwandtschaft kann auch durch 

 vier Tripel zugeordneter Punkte bestimmt werden, wenn 

 in keinem System alle vier Punkte in gerader Linie 

 liegen oder drei Punkte zusammenfallen. Die Orientirung 

 bildet ein wichtiges Constructionsverfahren, das an die 

 axonometrische Methode erinnert , und es wurde die 

 Eigenart des Verfahrens an der Aufgabe illustrirt: ein 

 Tripel zugeordneter Richtungen zu bestimmen, parallel 

 mit denen drei zugeordnete gerade Linien congruente 

 zugeordnete Punktreihen enthalten. Zum Schlufs wurde 

 die Bestimmung der Verwandtschaft durch die drei 

 „Kernbüschelverhältnisse" und die drei „Kernwiukel" 

 besprochen, wodurch man zu dem Begriff der „supple- 

 mentären" Verwandtschaft gelangte. Durch Festsetzung 

 von Beziehungen zwischen den sechs Bestimmungsele- 

 menten ergiebt sich ein grofser Formenreichtum der 

 Verwandtschaft; die gebräuchlichen Projectionsarten der 

 darstellenden Geometrie sind insbesondere durch sehr 

 einfache Beziehungen charakterisirt. — Herr Adler 

 (Prag) behandelte die „sphärische Abbildung der Flächen 

 und ihre Bedeutung in der darstellenden Geometrie". 

 Durch Polarisirung einer Fläche inbezug auf die Ein- 

 heitskugel erhält man eine punktweise auf die ursprüng- 

 liche Fläche bezogene, neue Fläche. Projicirt man die 

 Punkte der letzteren vom Mittelpunkt der Kugel auf die 

 Kugeloberfläche , so erhält man das sphärische Bild der 

 Originalfläche. Auf dieser Grundlage läfst sich dann 

 der Satz beweisen, dafs die sphärischen Bilder der 

 Krümmungslinien einer Fläche zweiten Grades confncale 

 sphärische Kegelschnitte sind. Ferner sind die sphäri- 

 schen Bilder der Isophoten irgend einer Fläche bei 

 Parallelbeleuchtung auch Isophoten der Kugel bei der- 

 selben Beleuchtung. Auf diesen Sätzen beruht die Be- 

 deutung der sphärischen Abbildung für die darstellende 

 Geometrie, wobei allerdings eine gewisse Schwierigkeit 

 darin liegt, dafs man immer einen constructiv einfachen 

 Uebergang von den Punkten der ursprünglichen Fläche 

 zu ihrer sphärischen Abbildung und umgekehrt finden 

 mufs, was für Flächen zweiten Grades in befriedigender 

 Weise gelingt. — Herr E. Müller (Königsberg) wies in 

 seinem Vortrage über das „Analogon zur Lieschen 

 Kugelgeometrie im Gebiet der geraden Linie" mit Hülfe 

 des Begriffes eines orientirten Punktpaares nach , dafs 

 die Geometrie der Projectivitäten auf einer geraden 

 Linie dieses Analogon bildet. — Herr London (Breslau) 

 trug vor: „Ueber eine besondere Art convergenter Punkt- 

 folgen." Wpnn man die Punkte einer Geraden projeetiv 

 bezieht, indem man zu einem Ausgangspunkt den ent- 

 sprechenden Punkt, zu diesem wieder den entsprechenden 

 u. s. f. construirt, so convergirt die so entstehende 

 „Iterationsfolge", wenn die projective Beziehung reelle 

 Doppelpunkte hat und nicht involutorisch ist, nach dem- 

 jenigen Doppelpunkt, der vom Fluchtpunkte am weite- 

 sten entfernt ist; die Iterationsfolgen der inversen Pro- 

 jectivität convergiren nach dem andern Doppelpunkt. 

 Sind keine reellen Doppelpunkte vorhanden, so erfüllen 

 die Punkte der Iterationsfolge die Gerade überall dicht. 

 Diese Sätze lassen sich auf projective Beziehungen in 

 Räumen höherer Dimension ausdehnen. Sind die Punkte 

 einer Ebene eindeutig durch eine Collineation bezogen, 

 so convergirt bei lauter reellen Doppelpunkten die 

 Iterationsfolge nach dem am weitesten von der Flucht- 

 geraden entfernt liegenden Doppelpunkt. Die Geraden 

 einer Iterationsgeradenfolge convergiren nach der den 

 Cnnvergenzpunkt mit dem mittleren Doppelpunkt ver- 

 bindenden Doppelgeraden. Sind nicht alle Doppelpunkte 

 reell, so convergirt jedenfalls eine der beiden Iterations- 

 punktfolgen, nach dem reellen Doppelpunkt, während 

 die Iterationsgeradenfolge der zu dieser inversen Colli- 

 neation nach der reellen Doppelgeraden convergirt. — 

 Herr Hubert (Göttingen) besprach „einige neuere 

 mathematische Dissertationen", die im Laufe der beiden 

 letzten Jahre von den Schülern des Referenten ange- 

 fertigt sind. Mit zahlentheoretischen Problemen (cubi- 

 schen Zahlkörpern, Reciprocitätsgesetzen) befassen sich 

 die Arbeiten von Reid, Hubert, Rückle, v. Sap olzki 

 und Bernstein (Mengenlehre), mit Fragen aus der 

 Variationsrechnung oder damit zusammenhängenden die 

 Dissertationen von Noble, Hedrick, J. Müller, 

 v. Gern et. Etwas genauer besprach der Vortragende 

 die geometrischen Arbeiten. Feldblum behandelt die 

 Coustructionen mit Lineal und Streckenübertragung ; 



Dehn wird durch die Untersuchung der Beweisbarkeit 

 des Legendreschen Satzes, dafs die Winkelsumme 

 eines Dreiecks nicht gröfser als zwei Rechte ist, zu 

 einer neuen Art der Geometrie geführt, ohne Hülfe des 

 Axioms des Archimedes; von Hamei wird die Frage 

 untersucht, inwieweit die Eigenschaft der Geraden, 

 die kürzeste Linie zu sein, den ersten Congruenzsatz 

 ersetzen könne ; er wird dadurch auf neue Geometrieen 

 geführt, von denen zwei besondere Arten schon früher 

 von dem Vortragenden und Minkowski aufgestellt 

 waren. Eine Arbeit von Boy handelt über Topologie 

 singularitätenfreier Flächen; in ihr wird bewiesen, dafs 

 eine Fläche existirt , die für die Abbildung der projec- 

 tiven Ebene dasselbe leistet, wie die Kugelfläche für die 

 Abbildung der complexen Ebene. Zoll behandelt Flächen 

 mit geschlossenen geodätischen Linien. — Zum Schlufs 

 gab Herr Zermelo (Göttingen) Beiträge „zur Theorie 

 der kürzesten Linien", indem er diese nach drei ver- 

 schiedenen Gesichtspunkten erweiterte. Wenn man sich 

 bei der Variation auf die benachbarten Curven be- 

 schränkt, so ist die geodätische Linie „kürzeste" Linie 

 bis zum ersten Berührungspunkt mit der zum Anfangs- 

 punkt gehörigen Enveloppe. Sie hört aber schon vorher 

 auf, „allerkürzeste" Linie zu sein und zwar in einem 

 Schnittpunkt mit der „Doppelabstandscurve", wo zwei 

 gleich lange kürzeste Linien sich schneiden. Fragt man 

 nach den kürzesten Linien innerhalb eines vorge- 

 schriebenen einfach zusammenhängenden Flächenstücks, 

 so gelangt man zu Curven, die aus geodätischen Linien 

 und aus concaven Theilen der Begrenzungscurve zu- 

 sammengesetzt sind derart, dafs an den Üebergaugs- 

 stellen Berührung stattfindet. Die von einem Anfangs- 

 punkte ausgehenden, kürzesten Linien schneiden sich nie 

 zum zweiten Male und erfüllen fächerförmig und stetig 

 das ganze Flächenstück. Schreibt mau schliefslich für 

 die den Variationsproblemen auftretenden Derivirten 

 obere Grenzen vor, so kommt man zu dem mit der An- 

 lage der Gebirgsstrafsen zu vergleichenden Problem der 

 „kürzesten Linie von beschränkter Steilheit". Die 

 Lösungen bestehen aus geodätischen Linien und aus 

 Curven von constanter Steilheit, den sogenannten 

 „Klettercurven". Diese letzteren bilden zwei einfache 

 Schaaren , erfüllen netzförmig alle Theile der Fläche, 

 auf denen die vorgeschriebene Steilheit überhaupt mög- 

 lich ist, und endigen an den Grenzen dieser Gebiete in 

 Spitzen. Jede Curve von überall gröfserer Steilheit kann 

 durch eine zickzackförmige in beliebiger Nähe verlaufende 

 Klettercurve ersetzt werden. 



Damit war das Programm der diesjährigen Tagungen 

 erledigt. Herr Klein (Göttingen) schlofs die Verhand- 

 lungen mit dem Ausdruck herzlichen Dankes an die 

 hiesige Geschäftsführung. Messerschmitt. Pund. 



Akademien und gelehrte Gesellschaften. 



Academie des sciences zu Paris. Sitzung am 

 23. September. G. Koenigs: Les systemes binaires et 

 les couples d'elements cinematiques. — H. Claude et 

 A. Zaky: La lecithine dans la tuberculose. — G. Gas- 

 tine et V. Vermorel: Sur les ravages de la Pyrale 

 dans le Beaujolais et sur la destruction des papillons 

 nooturnes au moyen de pieges lumineux alimentes par le 

 gaz acetylene. — A. Astruc: Reparation de l'acidite 

 dans la tige, la feuille et la fleur. — L. Capitan et 

 H. Breuil: Une nouvelle grotte avec figures peintes 

 sur le parois ä l'epoque paleolithique. — Aug. Coret 

 adresse une Note relative ä son „loch ä iudications in- 

 stantanees, ä deux tubes de Pitot". 



Vermischtes. 



Die wahrscheinliche Ursache der Veränder- 

 lichkeit des Erdscheins, den man auf der Schatten- 

 seite des Mondes einige Tage vor und nach Neumond 

 beobachtet, hat Herr H. H. Kimball im Maiheft des 

 U. S. Monthly Weather Review behandelt. Von der 

 Vorstellung ausgehend , dafs die Menge des Lichtes, 

 welches die Erde auf den Mond reflectirt, sich bedeutend 

 ändert je nach der Beschaffenheit der Erdoberfläche und 

 der Atmosphäre, wurde eine Karte der Erde hergestellt, 

 welche die Configuration der Continente und Meere 



