166 XXI. Jahrg. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



1906. Nr. 13. 



Der fünfte Teil, „die Bahnverbesserung", be- 

 handelt zunächst die Ausgleichung von Beobachtungen 

 und die Auflösung von Bedingungsgleichungen nach der 

 Methode der kleinsten Quadrate mit ausführlich ge- 

 rechnetem Beispiel für die Aufstellung der Normal- 

 gleichungen und ihrer Auflösung unter gleichzeitiger 

 Bestimmung der Gewichte der einzelnen Unbekannten. 

 Daran schließt sich die Darstellung der Methoden differen- 

 tieller Verbesserung der Bahnelemente nach Schönfeld 

 und in einer zweiten Form, in der die Zahl der Un- 

 bekannten in der einen entsprechend gewählten Koor- 

 dinate um zwei vermindert ist, während die anderen 

 vier Unbekannten auf die zweite Koordinate nur mit 

 sehr kleinen Koeffizienten einwirken. Differentielle Me- 

 thoden der Verbesserung von Parabeln bzw. parabel- 

 äbnlichen Ellipsen werden in mehreren Formen aus- 

 einandergesetzt , und zum Schluß wird noch eine vom 

 Verf. selbst ausgearbeitete Methode angeführt, die Ele- 

 mente durch Variation zweier Distanzen und der zu 

 diesen gehörenden vier Beobachtungskoordinaten differen- 

 tiell zu verbessern. Als Beispiel ist der Planet (434) 

 Hungaria gewählt, allerdings mit der die Rechnung be- 

 deutend vereinfachenden Annahme, daß die zwei zu- 

 grunde gelegten Orte völlig richtig seien, daß also statt 

 sechs nur zwei Unbekannte zu bestimmen sind. Die 

 Zusatzbemerkung, daß hierbei eine mehr als genügende 

 Übereinstimmung erzielt ist, gilt auch sonst für differen- 

 tielle Bahnverbesserungen, wenn die Beobachtungen nur 

 einen kleinen Teil der ganzen Bahn umfassen und wenig 

 zahlreich sind. Die scheinbar ausgezeichneten Bahn- 

 elemente erweisen sich nämlich fast stets , wenn der 

 Planet später an anderer Stelle der Bahn wieder ge- 

 funden wird, als weit weniger genau, als die frühere 

 gute Übereinstimmung zwischen Beobachtung und Rech- 

 nung hat annehmen lassen. Deshalb sind oft Näherungs- 

 methoden und BOgar Schätzungen, die rasch ausgeführt 

 sind , mit Rücksicht auf die große Zeitersparnis den 

 strengen Methoden in praxi vorzuziehen. 



Die durch erste Berechnung und Verbesserung er- 

 mittelten Bahnelemente genügen niemals lange zur stren- 

 gen Angabe eines Planeten- oder Kometenortes, weil sie 

 sich infolge der Störungen fortwährend ändern. Im 

 sechsten Teile wird nach Erklärung der mechanischen 

 Quadratur und Ableitung der Formeln für die dabei 

 auftretenden einfachen und Doppelintegrale die Theorie 

 der speziellen Störungen eingehend abgehandelt, und 

 zwar als erste Methode die der .Variation der Kon- 

 stanten". Wegen formeller Unterschiede werden die 

 Störungen planetarischer Ellipsen (mit Beispiel) und die 

 von Kometenbahnen getrennt erledigt. Dann werden 

 auch die Hilfsmittel zur Wahrung voller Genauigkeit 

 bei kreisähnlichen und bei schwach geneigten Bahnen 

 angegeben und zum Schluß noch Umformungen für 

 Hyperbeln vorgenommen. Die zweite Methode, die der 

 „speziellen Störungen in Polarkoordinaten", wird vom 

 Verf. nur für gewisse Fälle empfohlen; die Formeln für 

 die Störungen und für den Übergang auf neue Elemente 

 werden ausführlich abgeleitet und zusammengestellt. 

 Dann wird noch die dritte, jetzt nur noch für kurze 

 Zeiträume angewandte Methode der „Störungen der recht- 

 winkligen Koordinaten" entwickelt und ein Beispiel da- 

 zu gerechnet. Für die Kometen besonders wichtig sind 

 noch zwei Methoden; die eine betrifft die Störungen, 

 die ein solcher Körper bei ganz dichtem Vorübergang 

 an einem großen Planeten (Jupiter) erleidet, die andere 

 zeigt eine bedeutende Abkürzung der Rechnung, wenn 

 man die Bahn eines vom störenden Planeten weit ent- 

 fernten Kometen auf den Schwerpunkt Sonne-störender 

 Planet bezieht statt auf den Sonnenmittelpunkt. Auch 

 die Vorschriften für die Berechnung dieser Elementen- 

 änderung werden mitgeteilt. Als Resultat der gesamten 

 bisherigen Theorie wird noch kurz die Ableitung einer 

 definitiven Bahn besprochen. 



Nunmehr geht Verf. über zur Ermittelung der Bah- 



nen von Meteoren und Meteorschwärmen aus dem 

 als bekannt angesehenen Radianten bei hypothetisch an- 

 genommener oder aus Periodizitäten abgeleiteter Ge- 

 schwindigkeit. Ferner führt er die Gallesche Methode 

 der Flugbahnberechnung von Feuerkugeln kurz an. 



Der Bestimmung von Satellitenbahnen ist ein 

 eigenes Kapitel gewidmet. Die Formeln eignen sich be- 

 sonders für die Fälle bekannter Umlaufszeit, mäßiger 

 Exzentrizität, kleiner Neigung gegen bekannte Ebenen, 

 wobei zugleich der Nutzen graphischer Methoden für 

 erste Bestimmungen von Trabantenbahnen hervorgehoben 

 wird. Auch Differentialformelu für die Bahnverbesserung 

 werden entwickelt. 



Der letzte Abschnitt gilt dem interessanten, schon 

 so vielseitig behandelten Problem der Bestimmung von 

 Doppelsternbahnen, die leider wegen der den Beob- 

 achtungen naturgemäß anhaftenden Ungenauigkeit den 

 Rechner selten befriedigt. Nach Anführung allgemeiner 

 Sätze über die Bewegungen bei Doppelsternen und Dar- 

 legung der geometrischen Beziehungen zwischen schein- 

 barer und wahrer Bahnellipse werden die graphischen 

 Methoden von Zwieis und Klinkerfues, sowie die 

 analytische Methode (die Koeffizienten der Ellipsen- 

 gleichung werden durch die Bahnelemente ausgedrückt) 

 nach Seeliger erläutert. Auch die differentielle Ver- 

 besserung einer Doppelsternbahn wird kurz behandelt. 

 Ferner wird gezeigt, wie sich aus einer veränderlichen 

 Eigenbewegung die Bahn des betreffenden Sternes um 

 den Schwerpunkt des Systems berechnen läßt. Für 

 spektroskopische Doppelsterne werden die Methoden von 

 Lehmann- Filhes und von Seh warzschild angeführt, 

 und zum Schluß werden noch einige Arbeiten über Be- 

 rechnung einer Bahn eines Algolveränderlichen aus der 

 Lichtkurve genannt. 



Aus der vorstehenden Inhaltsangabe , deren Aus- 

 führlichkeit durch die hohe Bedeutung des neuen Werkes 

 über Bahnbestimmung von Himmelskörpern gerecht- 

 fertigt sein dürfte, vermag der Leser zu erkennen, daß 

 der Studierende wie der praktische Rechner sich aus 

 dem Buche über fast alle vorkommenden Fälle Belehrung 

 und Rat holen kann. Die allgemeinen Störungen sind 

 freilich unberücksichtigt geblieben , indes mit Absicht, 

 weil sie nicht direkt in Beziehung stehen zur Bahn- 

 bestimmung selbst, sondern gewissermaßen nur die 

 feinere Zukunft eines berechneten Planeten sichern 

 sollen und dies nur annähernd. Für die Dauer einiger. 

 Umläufe eines Planeten um die Sonne, die man etwa 

 durch eine „definitive Bahnbestimmung" verbinden will, 

 erreicht man durch scharfe Berechnung spezieller Stö- 

 rungen eine weit höhere Genauigkeit als bei gleichem 

 Zeitaufwand durch Berechnung allgemeiner Störungen. 

 Noch ist zu bemerken, daß zum vorliegenden Werke als 

 Ergänzung die vor einigen Jahren erschienene Tafel- 

 sammlung desselben Verf. gehört, auf die vom Verf. 

 auch vielfach verwiesen worden ist (siehe oben Fußnote) 

 A. Berberich. 



Hermann Schubert: Auslese aus meiner Unter- 

 richts- und Vorlesungspraxis. Zwei Bände. 

 239 u. 218 S. 8°. (Leipzig 1905, G. J. Göschen.) 

 Der erste Band zerfällt in zehn Abschnitte: I. Ele- 

 mentare Berechnung der Logarithmen auf der untersten 

 Stufe (Untersekunda.) II. Die Siebzehnteilung des Kreises. 

 III. Die Kreisteilungsgleichungen. IV. Die Zahl der von 

 zwei Planspiegeln entworfenen Bilder. V. Volumen des 

 Obelisken aus Höhe und zwei oder drei beliebig gelegten 

 Parallelschuitten. VI. Über eine beim Aufbau des abso- 

 luten Maßsystems begaugene Inkonsequenz. VII. Elemen- 

 tare Ableitung sehr euger Grenzen für die Schwingungs- 

 zeit eines mathematischen Pendels. VIII. Die Konstanten- 

 zahl eines Polyeders und der Euler sehe Lehrsatz. 

 IX. Einführung in die neuere Geometrie. X. Kreise und 

 Kugeln. — Der zweite Band umfaßt nur drei Abschnitte, 

 von denen die beiden ersten aber größere Wissenschaft- 



