340 XXI. Jahrg. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



1906. Nr. 27. 



besitzen. Die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung 

 gestatten nun einen Ausdruck aufzustellen, welcher 

 die relative Wahrscheinlichkeit dieser speziellen Zu- 

 standsverteilung gegenüber der durch dasMaxwell- 

 sche Verteilungsgesetz bestimmten angibt, d. h. die 

 Häufigkeit des Vorkommens dieser speziellen Zu- 

 standsverteilung, bezogen auf die Häufigkeit des Vor- 

 kommens der Maxwell sehen Verteilung als Einheit. 

 Diese Wahrscheinlichkeitsgröße läßt sich nun in 

 Form eines Bruches darstellen, und es ergibt sich nun 

 nach Vornahme geeigneter mathematischer Trans- 

 formationen, daß der Nenner dieser Wahrscheinlich- 

 keitsgröße im Wesen identisch ist mit dem Werte der 

 Funktion H für diese Zustandsverteilung. Hierdurch 

 erhält aber die Abnahme von 27 einen tieferen Sinn. 

 Indem nämlich //, also der Nenner der Größe, die uns 

 die Zustandswahrscheinlichkeit angibt, im Verlaufe 

 der Zeit ständig abnimmt, nimmt diese Größe selbst 

 beständig zu. Der Satz, daß die //-Funktion im 

 naturgemäßen Ablauf der molekularen Bewegungs- 

 zustände stetig abnimmt, besagt also nichts anderes, 

 als daß sich diese Zustände immer wahrscheinlicheren 

 und wahrscheinlicheren Zuständen nähern. Nun haben 

 wir aber gesehen, daß die Abnahme von H gastheo- 

 retisch identisch ist mit der Zunahme der Entropie. 

 Nachdem nun die Abnahme von H selbst wieder 

 identisch ist mit der Zunahme der Zustandswahrschein- 

 lichkeit unter den Gasmolekülen, so bietet sich uns 

 schließlich die Interpretation der Entropie als Größe 

 der Wahrscheinlichkeit der herrschenden Zustands- 

 verteilung dar und das Wachsen der Entropie als 

 ein Streben nach immer wahrscheinlicheren Zustands- 

 verteilungen. 



Damit ist im wesentlichen das eingangs gestellte 

 Thema erledigt, und es erübrigt nur noch, einige Be- 

 merkungen zur Illustration des Gesagten anzufügen, 

 welche zum Teil aus Einwänden entspringen, die 

 gegen das //-Theorem und seine Konsequenzen er- 

 hoben wurden. Es wurde aus gewissen Lehrsätzen 

 der Dynamik gefolgert, daß ein System von Gas- 

 molekülen, die in einem starren, unveränderlichen 

 Gefäße eingeschlossen sind und unter denen anfangs 

 eine bestimmte, unwahi-scheinliche Zustandsverteilung 

 herrscht, überhaupt nicht einen stationären End- 

 zustand wahrscheinlichster Zustandsverteilung er- 

 reichen könne, sondern — wenn nur hinreichend große 

 Zeiträume verfließen — stets wieder periodisch dem 

 unwahrscheinlichen Anfangszustande nahe kommen 

 müsse. Allein solche Folgerungen bilden keine Wider- 

 legung der vorgebrachten Sätze, sondern lassen sich 

 ganz wohl in Einklang mit denselben bringen. Denn 

 die erörterten gastheoretischen Theoreme sind ihrer 

 Natur nach bloße Sätze der Wahrscheinlichkeits- 

 rechnung; wenn also gesagt wird , im Verlaufe der 

 Zeit wächst die Wahrscheinlichkeit, daß das Gas 

 schließlich den Zustand des Wärmegleichgewichtes 

 annimmt und beibehält, ins Enorme, so ist damit 

 keineswegs behauptet, daß es überhaupt ausgeschlossen 

 sei, daß das Gas irgend einmal im Laufe der Zeit 

 wieder einen vom Wärmegleichgewicht abweichenden 



Zustand annnimmt. Es ist dies letztere nur als ganz 

 enorm unwahrscheinlich hingestellt, allein mathema- 

 tisch gleich Null ist die Wahrscheinlichkeit hierfür 

 trotzdem nie. Man kann sich von diesen Verhält- 

 nissen eine Anschauung verschaffen, wenn man die 

 Größe// in ihrer Abhängigkeit von der Zeit graphisch 

 darstellt. Zu diesem Zwecke trägt man auf einer 

 Horizontalen die Werte der ablaufenden Zeit (als 

 Abszissen) auf und senkrecht hierzu die zugehörigen 

 Werte der //-Funktion (als Ordinaten). Es werden 

 nun für ein Gas, das durch lange Zeit sich selbst über- 

 lassen blieb, die Werte der Ordinaten stets sehr nahe 

 dem Minimumwert von //gleich sein (entsprechend 

 dem Zustande des Wärmegleichgewichtes). Selbst- 

 verständlich werden, wenn auch ganz enorm selten, 

 d. h. auf der Kurve durch ganz enorm große Zeit- 

 räume (Abszissenwerte) getrennt, auch größere Werte 

 der Ordinaten vorkommen (entsprechend unwahr- 

 scheinlichen Zuständen), und zwar werden diese 

 Buckel der //-Kurve wieder um so enorm seltener 

 sein, je größer sie sind. Betrachten wir dann das 

 Gas zu einem Zeitpunkte, dem eine //-Minimum-Or- 

 dinate entspricht, also im Zustande des Wärme- 

 gleichgewichtes, so wird es der Natur der //-Kurve 

 entsprechend ganz ungeheuer wahrscheinlich sein, 

 daß das Gas auch weiterhin in diesem Zustande ver- 

 bleibt, ob wir nun in der Zeit vorwärts schreiten oder 

 in der Zeit rückblickend die Zustände verfolgen. 

 Betrachten wir aber das Gas in einem Zeitpunkte, 

 wo ejä eine vom Wärmegleichgewicht abweichende, 

 unwahrscheinliche Zustandsverteilung besitzt, befinden 

 wir uns also auf einer jener enorm seltenen Ordina- 

 ten, die größer als //-Minimum sind, so wird es nun 

 enorm wahrscheinlich sein, daß sowohl beim Vorwärts- 

 schreiten mit der Zeit als auch beim Rückblick auf 

 die Vergangenheit die //-Funktion abnimmt und nicht 

 wächst, denn eine noch größere //-Ordinate als die- 

 jenige, auf der wir uns befinden, wäre eben noch 

 ganz ungeheuer unwahrscheinlicher. 



Ich will diese Zeilen mit einer Bemerkung be- 

 schließen, die sich in einem Aufsatze Boltzmanns 

 über das //-Theorem (Nature 51, 415) befindet 

 und die eine interessante Anwendung der //-Kurve 

 auf die Vorgänge im Universum enthält. 



Die Idee, als deren Urheber von Boltzmann 

 Dr. Schütz zitiert wird, besagt ungefähr folgendes: 



Wir nehmen an, das ganze Universum ist und 

 bleibt für ewig im Zustande des Wärmegleichgewichtes; 

 dann ist es nach dem früher Gesagten trotzdem nicht 

 absolut unmöglich, daß ein einziger Teil des Uni- 

 versums sich in einem hiervon abweichenden Zu- 

 stande befindet; und es ist die Wahrscheinlichkeit 

 hierfür um so kleiner, je weiter dieser Zustand vom 

 Wärmegleichgewicht entfernt ist, und um so größer, 

 je ausgedehnter wir das Universum annehmen. Nach- 

 dem wir es nun in der Hand haben, das Universum 

 beliebig ausgedehnt zu denken, so können wir die 

 Wahrscheinlichen, daß sich irgend ein relativ kleiner 

 Teil des Universums in einem beliebig vom Wärme- 

 gleichgewicht abweichenden Zustande befindet, be- 



