Nr. 38. 1906. 



Natur wissenschaftliche Rundschau. 



XXI. Jahrg. 491 



vor mehreren Jahren in der elementar-theoretischen 

 Kriränzungsvorlesiing zur Experimentalphysik auf- 

 drängte. 



Allbekannt sind die hübschen Flächen, die man 

 erhält, wenn man einen Drahtrahmen in Seifenlösung 

 taucht; beim Herausziehen bildet sich eine Seifen- 

 lamelle, die nur dann eine Ebene bildet und bilden 

 kann, wenn die begrenzende Drahtkurve in einer 

 Ebene liegt. Die Drahtfigur kann aber auch z. B. 

 aus vier geradlinigen Stücken bestehen, die nicht 

 in einer Ebene liegen , wie die Seiten eines Vierecks, 

 das man in einer Diagonale geknickt hat. Bei einer 

 solchen Begrenzung hat die Seifenlamelle eine sattel- 

 förmige Gestalt; so wie ein Sattel in der Richtung von 

 rechts nach links konvex, von vorn nach hinten kon- 

 kav ist, so haben auch diese Seifenlamellen an jeder 

 Stelle eine Richtung, in der sie konvex, eine dazu 

 senkrechte Richtung, in der sie konkav erscheinen. 

 Nach welchem geometrischen Gesetz bilden sich nun 

 diese Seifenlamellen? 



Mit wenigen Worten erinnere ich daran , wie die 

 Existenz der Oberflächenspannung einer Flüssigkeit 

 zu erklären ist. Ein Flüssigkeitsteilchen steht unter 

 dem anziehenden Einfluß aller derjenigen seiner Nach- 

 barn , die sich innerhalb der Wirkungssphäre der 

 Kohäsionskräfte befinden. Im Innern heben sich diese 

 Kräfte als gleichmäßig nach allen Seiten hin gerichtet 

 auf. Für Teilchen in der Nähe der Oberfläche dagegen 

 fällt bei der Konstruktion der Wirkungssphäre ein 

 Abschnitt derselben außerhalb der Flüssigkeit; dort 

 sind keine Teilchen vorhanden, deren Kohäsionskräfte 

 das betrachtete Teilchen nach außen ziehen; es bleibt 

 von allen wirksamen Nachbarn ein überwiegender 

 Zug nach innen , welcher Zug an allen Stellen der 

 Oberfläche vorhanden ist. Insgesamt muß diese an 

 jeder Stelle vorhandene Spannung der Oberfläche zur 

 Folge haben, daß diese sich auf die kleinste mögliche 

 Fläche zusammenzieht, wie Plateau zuerst erkannt 

 hat; so bewirkt sie, daß ein Oltropfen, der in wässe- 

 rigem Alkohol schwebt, kugelförmige Gestalt annimmt. 

 Sie bewirkt, daß eine freie Seifenblase Kugelform 

 annimmt, sowie daß eine solche , nach dem Aufblasen 

 durch eine Tonpfeife hindurch mit dieser in Verbin- 

 dung gelassen, die Luft aus ihrem Innern wieder durch 

 das Pfeifenrohr hindurch austreibt und sich auf eine 

 ebene Lamelle, die die Pfeife verschließt, zusammen- 

 zieht. Eine weitere Folgeerscheinung dieser Span- 

 nung hat Kundt in einem schönen Versuche an- 

 schaulich gemacht: man erzeugt eine Seifenlamelle in 

 einem Drahtkreis , wirft eine Zwirnfadenschlinge auf 

 die Lamelle und bringt durch Berühren mit einem 

 spitzen Gegenstande die Lamelle im Inneren der 

 Schlinge zum Platzen; sogleich zieht dann die Span- 

 nung der äußeren Lamelle den nunmehr ihre Rand- 

 fläche begrenzenden Zwirnfaden zu Kreisform aus 

 einander. Diese Spannung bewirkt allgemein , daß 

 innerhalb der gegebenen Drahtbegrenzuug die Seifen- 

 lamelle unter allen geometrisch denkbaren Flächen- 

 gestalten diejenige einnimmt, welche den kleinsten 

 Flächeninhalt hat; denn infolge der vollkommenen 



Beweglichkeit der Flüssigkeitsteilchen gegen einander 

 zieht jene Spannung die Fläche der Lamelle so weit 

 zusammen wie möglich. Eine solche Fläche kleinsten 

 Flächeninhaltes bei gegebener Begrenzung nennt man 

 eine Minimalfläche; bei ebener Begrenzung ist es 

 eine Ebene; bei einer Begrenzung, die nicht in einer 

 Ebene liegt, wird eine solche Minimalfläche eine 

 Sattelfläche von der Art der oben beschriebenen 

 Seifenlamellen. 



Wir können aber für deren Gestalt auch in anderer 

 Weise ein Gesetz ableiten. Es ist bekannt , daß im 

 Vergleich mit einer ebenen Flüssigkeitsoberfläche an 

 einer konvexen die Oberflächenspannung größer, au 

 einer konkaven kleiner ist. Dies erkennt man sofort, 

 wenn man sich für die vorstehenden drei Fälle um 

 je ein Teilchen in demselben kleinen Abstände von 

 der Oberfläche die Wirkungssphäre der Kohäsions- 

 kräfte konstruiert denkt; bei der konvexen Oberfläche 

 fällt ein größerer Teil dieser Sphäre außerhalb der 

 Flüssigkeit als bei der ebenen. Bei der konvexen 

 Oberfläche fehlt also auch eine größere Anzahl von 

 Teilchen, die das ins Auge gefaßte nach außen ziehen, 

 als bei der ebenen. Es resultiert also bei der konvexen 

 Fläche ein stärkerer unkompensierter Zug nach innen 

 als bei der ebenen, und bei dieser wiederum als bei der 

 konkaven Flüssigkeitsoberfläche. Man kann mithin die 

 gesamte Oberflächenspannung auffassen als zusammen- 

 gesetzt aus einem bei ebener Oberfläche vorhandenen 

 Anteile E und einem von der Krümmung K abhängigen 

 Anteile, der bei ebener Fläche, also Krümmung ÜT:=0, 

 verschwindet; welcher Anteil bei Konvexität der 

 Fläche, die wir positive Krümmung nennen können, 

 positiv, bei Konkavität oder negativer Krümmung 

 negativ ist; welcher Anteil also proportional der 

 Krümmung mit Berücksichtigung ihres Vorzeichens 

 gesetzt werden kann, etwa gleich c . E, wo c ein kon- 

 stanter Faktor ist. Die gesamte Oberflächenspannung 

 ist dann also gleich (E-\-c.E). 



Wir sprachen bisher von Krümmung schlechtweg; 

 das ist aber zulässig nur bei Kugelflächen. Schon 

 eine allseitig konvexe Fläche, z. B. die einer optischen 

 Sammellinse, kann jedoch in einer Richtung stärker 

 gekrümmt sein als in einer anderen ; darauf kann ja 

 bei der Linse des Auges der Astigmatismus beruhen. 

 In einem solchen Falle würden wir als Krümmung E 

 einführen den Mittelwert der größten und der kleinsten 

 Krümmung der Fläche und die Oberflächenspannung 

 wiede r gleicb(_E -\- c . E) haben. In diesem Sinne der 

 mittleren Krümmung ist die Größe E auch zu nehmen, 

 wenn wir es mit einer Sattelfläche zu tun haben , die 

 in einer Richtung konvex ist, also positive Krüm- 

 mung -(- E i hat, in der anderen konkav ist, also 

 negative Krümmung — E 2 hat. Dann kann der Fall 

 eintreten, daß die Konkavität (negative Krümmung) 

 der Sattelfläche in der Richtung von vorn nach hin- 

 ten gleich ist ihrer Konvexität (positive Krümmung) 

 von rechts nach links. Die mittlere Krümmung E 

 ist dann gleich Null. Gerade dieser Fall muß bei 

 den Seifenlamellen vorliegen, wie folgende Überlegung 

 beweist. 



