Nr. 43. 1906. 



Naturwissenschaftliche Rundschau. 



XXI. Jahrg. 577 



-r-K 4- -.4 .S i.i-j . /' = soll .1 so bestimmt werde u , daß 

 d x' 



eine Lösung existiert, welche in den Endpunkten und 1 

 eines .Segments auf der .c -Achse verschwindet und da- 

 zwischen eine Zahl a (Oszillatiouszahl) von Nullstellen 

 hat. Kür den Fall, daß S (x) zwischen I) und l sein 

 Vorzeichen nicht ändert, hatte Sturm zu jeder Oszilla- 

 tionszahl einen und nur einen Wert von A gefunden. 

 Der Redner behandelte nun den Fall, daß 8(x) sein 

 Zeichen wechselt, und gab noch eine Verallgemeine- 

 rung betreuend den Hinzutritt eines weiteren Gliedes 

 B f auf der linken Seite der oben stehenden Gleichung. 



In der dritten Sitzung am Dienstag, den IS. Sep- 

 tember, nachmittags 3% Uhr unter dem Vorsitz des 

 Herrn Professor Dr. Noether (Erlangen) hielt den 

 ersten Vortrag Herr Geheimrat Dr. Krause (Dresden): 

 „Zur Theorie der Funktionen reeller Veränderlichen." 

 Der Redner zeigte, wie jede allgemeine stetige Funktion 

 in eine gleichmäßig konvergente Reihe fortschreitend 

 nach rationalen Funktionen entwickelt werden kann. Herr 

 Prof. Dr. Pringsheim bemerkte hierzu, daß es von 

 Wichtigkeit wäre, ausgerechnete Beispiele für sotehe 

 Entwickelungen zu besitzen. — Im nächsten Vortrag: 

 „Über konforme Abbildung mehrfach zusammenhängen- 

 der ebener Bereiche", zeigte Herr Dr. Koebe (Göttingen), 

 daß es möglich ist, 1. einen beliebigen symmetrischen 

 Bereich konform auf einen symmetrischen Kreisbereich, 

 2. einen beliebigen dreifach zusammenhängenden Bereich 

 konform auf einen Kreisbereich abzubilden. — Der nächste 

 Redner, Prof. Dr. F. Meyer (Königsberg), sprach über 

 Anwendung des erweiterten Eucli diso hen Algorithmus 

 auf Resultantenbildungen. Es handelt sich um die An- 

 wendung einer vom Redner früher angegebenen Er- 

 weiterung der sog. Staffelrechnung, um gemeinsame 

 Teiler mehrerer Zahlen zu finden, auf ein System von 

 Formen, von welchen die Resultante bestimmt werden 

 soll. — Den letzten Vortrag hielt Herr Oberlehrer Dr. 

 Schafheitlin (Berlin): „Zur Theorie der Besselschen 

 Funktionen." Der Redner bewies, daß die erste Null- 

 stelle der Zylinderfunktion zweiter Art größer als n -f- l / a , 

 aber kleiner als die erste Nullstelle der entsprechenden 

 Funktion erster Art ist. 



Am längsten und anstrengendsten war die vierte 

 Sitzung am Mittwoch, den 19. September, vormittags 

 9 Uhr, welche unter dem Vorsitz des Herrn Prof. Dr. 

 v. Brill (Tübingen) mit einem großen Referat von Herrn 

 Prof. Schoenflies (Königsberg) über die Entwickelung 

 der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, II. Teil 

 (Geometrie und Funktionentheorie), begann. Um die 

 noch so neue und an Paradoxen reiche Mengenlehre 

 weiter auszubilden, erwies sich die Heranziehung geo- 

 metrischer Vorstellungen als notwendig. Die Analysis 

 situs führt dann zum Begriff der geschlossenen Kurve, 

 die Zusammenhangszahl des von der Kurve umschlossenen 

 Gebietes kann unendlich groß sein. Eine Punktmenge 

 ist eindeutige stetige Abbildung des Kreises im Sinne 

 der Analysis situs, wenn sie die Ebene in ein äußeres 

 und ein inneres Gebiet teilt und alle Grenzpunkte von 

 beiden aus erreichbar sind. Eine solche Kurve heißt 

 einfach geschlossen, kann aber, wie der Redner zeigt, 

 noch eine sehr paradoxe Gestalt haben. Bei der Ab- 

 bildung braucht nicht einmal die Dimension erhalten zu 

 bleiben, ebensowenig die Eigenschaft der Menge einen 

 Inhalt zu haben. Der Vortragende definiert bei dieser 

 Gelegenheit den „Inhalt einer Raumkurve im Sinne von 

 Lebesgue". Dann wird die Meßbarkeit der Mengen 

 erörtert, eine Eigenschaft, die wahrscheinlich bei der 

 Abbildung erhalten bleibt. Weierstrass machte darauf 

 aufmerksam, daß das Existenzbereich einer analytischen 

 Funktion und der Konvergenzbereich eines analytischen 

 Ausdruckes nicht ein und dasselbe sind. Die singu- 

 lären Punkte einer analytischen Funktion bilden eine 

 abgeschlossene Menge, die Divergenzstellen eines analy- 

 tischen Ausdruckes im allgemeinen nicht. Unter den 

 Taylorschen Reihen haben sowohl die analytisch fort- 

 setzbareu als auch die nicht fortsetzbaren die Mäch- 

 tigkeit des Kontinuums. Zum Schluß bemerkte der 

 Redner, daß durch die Mengenlehre der Übergang vom 

 Endlichen zum Unendlichen (die sog. transfinite Induk- 

 tion) zu einer elementaren Operation unigeschaffen wird, 

 wobei auch die Lehre von den Formen unendlich vieler 

 Veränderlichen (Uilbert) hereinspielt. — Im nächsten 



Vortrag über Potenzierung von Ordnungszahlen zeigte 

 Herr Prof. G. Hessenberg (Charlottenburg), wie sich 

 die Potenzieruug von Mengen durch Belegung verall- 

 gemeinern läßt. — Herr Prof. Lands berg (Breslau) 

 sprach über Totalkrümmung und gab, von einem Varia- 

 tionsproblem ausgehend, eine Begründung der Gauss- 

 schen Krümmungstheorie der Flächen nicht nur für den 

 gewöhnlichen Fall, sondern auch für den Fall, daß die 

 .Minimalkurven reell sind. Die Totalkrümmung eines 

 Gebietes ist im ersten Falle der Unterschied des sphä- 

 rischen Exzesses gegenüber dem Integral der geodätischen 

 Krümmung längs der Begrenzungskurve, im letzteren 

 dagegen der sphärische Exzeß selbst. — Herr Geheim- 

 rat Dr. R o h n (Leipzig) gab alsdann eine lineale Kon- 

 struktion der Kurve dritter Ordnung, und zwar ver- 

 mittelst der Geradenpaare zweier Kegelschuittbüschel. 

 Die beiden eben erwähnten Vorträge geometrischen In- 

 halts stellten die erste Abweichung dar von dem für die 

 Stuttgarter Versammlung ausgegebeneu Programm. Dieses 

 lautete: Funktionentheorie oder, besser gesagt, allgemeine 

 reelle Funktionentheorie, und war geeignet, der dies- 

 jährigen Tagung einen besonders abstrakten Charakter 

 zu geben. Als eine wahre Erholungspause wirkten die 

 nun folgenden elementaren und lichtvollen Erläuterungen 

 des Herrn Prof. Dr. 11. Wiener (Darmstadt) zu zwei 

 Modellen. Das eine stellte eine Uaumkurve dritter Ord- 

 nung dar, erzeugt durch ihre Tangenten, welche sich als 

 Verbindungslinie der Berührungspunkte der Tangenten 

 von den Punkten einer Geraden an zwei Kegelschnitte 

 ergaben, welche, in verschiedenen Ebenen gelegen, beide 

 die Gerade zur Tangente hatten. Das andere bezog sich 

 auf den dualistischen Fall. — Alsdann sprach Herr Dr. 

 C. Juel (Kopenhagen) über nichtanalytische Raumkurven. 

 Er stellte zunächst die Existenz von Kurven w-ter Ord- 

 nung auf dem Hyperboloid fest, welche jede Erzeugende 

 der einen Art nur in einem Punkte schneiden, und ge- 

 langte schließlich zu nk-htanalytischen Raumkurven vierter 

 Ordnung, welche dieselben charakteristischen Zahlen 

 haben wie die algebraischen Raumkurven vierter Ordnung 

 erster Spezies. — Im folgenden Vortrag: „Zur konstruk- 

 tiven Behandlung des Achsenkomplexes", betrachtete Herr 

 Prof. Dr. T. Schmidt (Wien) den Komplex, welcher 

 durch Fällen der Normalen auf jedem Punkt auf seine 

 Polarebene in bezug auf eine F 3 entsteht, und stellte 

 als Komplexkegelschnitte St einer sehe Parabeln fest. — 

 Im letzten Vortrag gab Herr Prof. Dr. Reinhold Müller 

 (Brauuschweig) die Polbestimmung für Verzweigungs- 

 lagen bei der Bewegung eines ebenen ähnlich veränder- 

 lichen Systems in seiner Ebene und zeigte, wie man sich 

 zu helfen hat, wenn, wie in dem vorliegenden Falle, die 

 allgemeine Burmestersche Konstruktion versagt. 



In der fünften Sitzung am Mittwoch, den 19. Sep- 

 tember, nachmittags 3% Uhr, unter dem Vorsitz des 

 Herrn Geheimrat Dr. Klein (Göttingen) kam noch die 

 angewandte Mathematik zum Wort. Herr Prof. Dr. 

 Runge (Göttingen) sprach tiber graphische Lösung von 

 Differentialgleichungen und erklärte insbesondere das 

 Picardsche Annäherungsverfahren für besonders ge- 

 eignet, als Grundlage graphischer Methoden zu dienen. 

 — Herr Prof. Dr. Mehmke (Stuttgart) hielt sodann 

 einen Vortrag: „Über neue Mechanismen zur Lösung von 

 Aufgaben der Dynamik mit Anwendung auf die mecha- 

 nische Integration von Differentialgleichungen, zumal 

 höherer Ordnung, und von Systemen solcher." Den Ap- 

 paraten, welche allerdings schwierig auszuführen sind, 

 liegen die Methoden des Redners, die Bahn aus der Be- 

 schleunigung vermittelst der Velocide zu konstruieren, 

 zugrunde. Von solchen Hilfsmitteln wird auch eine 

 Förderung des Dreikörperproblems auf dem Wege der 

 Anschauung .erhofft. — Der zweite Vortrag des Herrn 

 Mehmke: Über neue Anwendungen der Rolle auf das 

 Zeichnen verschiedener Klassen von Kurven und auf die 

 Ausführung von Berührungstransformationen konnte der 

 vorgerückten Zeit wegen nur noch auszugsweise gegeben 

 werden. — Noch weniger konnten die beiden folgenden 

 Redner, Herr Ingenieur A. Wagenmann (Stuttgart) und 

 Herr Schriftsteller E. Hackh (Neckarsulm) mit ihren 

 philosophischen Themata: „Mathematische Theorie des 

 Entwickelungsgedankens" und „Die Mathematik der Be- 

 griffe", zum Wort kommen, da die in Gegenwart des 

 Herrn Kultusministers von Fleisch hauer stattfindende 

 Sitzung der Unterrichtskommission es notwendig machte, 



