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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. XX. Nr. 35 



Hast sich fortgesetzt drehen, bald behutsam flat- 

 tern, wie ein Schmetterling. Wie sollen wir da 

 wissen, wohin der Plug in jedem einzelnen Falle 

 zielt. 



Klar ist der Unterschied auch beim labilen 

 Gleichgewicht: Wenn ich den Federhalter genau 

 senkrecht auf die Spitze stelle, so ist es gewiB, 

 daB er umfallt, unbestimmt bleibt aber, nach 

 welcher Seite er fallt: das hangt vom Zufall ab. 



Von Mises sagt, Zufallsereignisse sind da- 

 durch in der Natur bedingt, dafi die Geschehnisse 

 zwar im allgemeinen regular im Sinne der mecha- 

 nischen Differentialgleichungen verlaufen, daB aber 

 an einzelnen, singularen Zeitpunkten Verzweigun- 

 gen der regularen Losung eintreten, an denen der 

 Ablauf der Ereignisse nicht eindeutig durch die 

 mechanischen Gleichungen bestimmt ist. Wir 

 konnen auch sagen, das Werden der Welt stoBt 

 auf Scheidewege, an denen kein Wegweiser steht 

 oder gerat gar auf Feldwege, wo jede Richtungs- 

 angabe fehlt. 



Man wird nun geneigt sein zu glauben, da8 

 jede physikalische Forschung unmoglich wird, 

 wenn wir in der Physik derartige Verzweigungs- 

 punkte als wirklich vorhanden annehmen. Die 

 Aufgabe der Physik ist ja gerade, aus den ge- 

 gebenen Verhaltnissen heraus ein Ereignis vorher- 

 zusagen. 



In der Tat kann auch die Physik mit dem 

 einzelnen Zufallsereignis gar nichts anfangen. 



Ganz anders liegt es aber bei einer grofien 

 Anzahl gleichartiger Ereignisse, die nacheinander 

 oder gleichzeitig nebeneinander geschehen. 



Auf eine solche Summe von Ereignissen kon- 

 nen die Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrech- 

 nung erfahrungsgemaB angewandt werden , und 

 diese liefert uns gerade fur die Zufallsereignisse, 

 ja nur fur Zufallsereignisse bestimmte Voraussagen 

 der Ereignisse. 



Solche Summen von Ereignissen treten uns 

 iiberall in der Natur entgegen, da die Materie aus 

 einzelnen Atomen, die Elektrizitat aus einzelnen 

 Elektronen, die Atome wieder aus kleinen dis- 

 kreten Teilchen aufgebaut erscheinen. Das Zufalls- 

 spiel der mikroskopischen Welt liefert uns nach 

 den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung die 

 Gesetze der makroskopisthen Welt. 



Wie sich auf der Unbestimmtheit und Regel- 

 losigkeit des einzelnen Falles in der Gesamtheit 

 eine GesetzmaBigkeit aufbauen lafit, mochte ich 

 Ihnen zunachst an einem Beispiel, dem sog. 

 Galtonbrett zeigen, das in der Kinderstube, mehr 

 oder minder geschmackvoll verziert, ein Tivoli- 

 spiel genannt wird. 



. .64- 



-32-32- 

 16-32-16- 



8 .24-24- 8 

 4 16-24- '6- 4 



2 IO-2O-2O- IO- 2 



i 6 15 -20- 15- 6 i 



Wir haben auf einem schrag gestellten Brett 

 eine Anzahl Nagel, die in Diagonalreihen ange- 

 ordnet sind (in vorstehender Figur durch Punkte 

 angedeutet). Lasse ich eine kleine Kugel in der 

 Mitte zwischen 2 Nageln rollen, so stoBt sie sofort 

 auf einen Nagel der 2. Reihe und es hangt ledig- 

 lich vom Zufall ab, ob sie rechts oder links von 

 ihm weiter rollt. Beide Falle sind gleich wahr- 

 scheinlich, well kein Grund vorliegt, weshalb eine 

 Seite bevorzugt werden sollte. Hat die Kugel 

 sich fur eine Seite entschieden, so wird sie sofort 

 in der 3. Reihe wieder auf einen Nagel stoBen, 

 und wird wieder je nach Zufall rechts oder links 

 weiter rollen. Der Weg den die Kugel durch 

 die Nagelreihe nimmt, ist demnach ein rein zu- 

 falliger. Vom Zufall hangt auch das Fach ab, in 

 welchem sie schlietJlich ankommt. Wir konnen 

 dariiber nicht die geringste Vermutung aussprechen. 



Wiederholen wir aber den Versuch sehr oft, 

 sagen wir 64COOmal, so wird die Sachlage eine 

 andere. Es wird etwa gleich oft vorkommen, 

 daB eine Kugel rechts vom mittleren Nagel der 



2. Reihe vorbeirollt, und daB sie links vorbeirollt. 

 Bei unendlich haufigen Wiederholungen hatten wir 

 beide Falle gleich oft. Denn wenn dies nicht 

 der Fall ware, so ware dies ein Beweis dafiir, daB 

 ein Grund fur die Bevorzugung einer Seite vor- 

 liegt und die Wahl der Seite ware nicht zufallig. 

 Es wird demnach bei den 64000 Versuchen die 

 Kugel etwa 32 ooomal rechts und etwa 32000 mal 

 links bei dem Nagel vorbeilaufen. 



Von diesen letzteren 32000 Kugeln werden 

 wieder etwa 16000 links von dem Nagel in der 



3. Reihe, 16000 rechts vorbeilaufen; durch dieses 

 Fach gehen aber auch etwa 16000 Kugeln von 

 denen, die bei der 2. Nagelreihe den rechten Weg 

 wahlten, so daB wir hier im ganzen 32 ooo Kugeln 

 etwa haben. Fahre ich so fort, so erhalte ich 

 bei der 7. Reihe eine Verteilung der Kugeln auf 

 die einzelnen Facher, wie ich in der Figur ange- 

 deutet habe. 



Jeder Nagel reprasentiert auf dem Wege der 

 einzelnen Kugel einen Verzweigungspunkt im Sinne 

 von von Mises. Wenn wir aber den Fall aller 

 64000 Kugeln als ein Gesamtereignis zusammen- 

 fassen, so kommen wir zu einem bestimmten Ver- 

 teilungsgesetz , das lautet: 20 / fll aller Kugeln 

 werden etwa in das mittlere Fach fallen, in die 

 beiden daneben liegenden Fachern nur etwa 16 / 64 , 

 in das 4. Fach von der Mitte nur etwa ] /64 u - s - * 



Dieses Gesetz ist indesseu kein strenges, es 

 ist ein statistisches Gesetz, das aussagt, daB die 

 Verteilung etwa der berechheten entsprechen wird. 

 Es ware hochst unwahrscheinlich, daB mal eine 

 ganz andere Verteilung herauskommt, moglich 

 ware aber eine solche. 



Solche statistischen Gesetze sind ganz anderer 

 Art, wie strenge Naturgesetze, wie z. B. das Fall- 

 gesetz. Nehme ich z. B. die Beziehung der durch- 

 fallenen Strecke zur Fallzeit s = -^gt 2 , so sagt 

 das Gesetz aus: Wenn ein Korper zu Boden fallt 

 und wenn weiter nichts vorhanden ware, wie 



