N. F. XX. Nr. 35 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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dieser Korper und die Erde, und nichts diesen 

 Fall store, dann wiirde die Fallstrecke in dieser 

 Weise von der Fallzeit abhangen und die Gleichung 

 wiirde mathematisch genau bei jedem Versuch er- 

 fullt sein. Die genannten Bedingungen sind aber 

 niemals erfiillt und deshalb gibt der Versuch stets 

 ein mehr oder minder abweichendes Resultat. 



Demgegeniiber setzen wir fur ein statistisches 

 Gesetz keine unerfullbaren Bedingungen an, sondern 

 nehmen die Verhaltnisse so, wie sie wirklich sind, 

 d. h. mehr oder minder unbestimmt, vom Zufall 

 abhangend und verlangen von dem Gesetz aus 

 diesem Grunde auch nur eine ungefahre Uber- 

 einstimmung mit dem Versuch. 



Viele Naturgesetze sind nun derartige statistische 

 Gesetze, obgleich sie uns in der makroskopischen 

 Welt nicht als solche erscheinen. Das ist immer 

 dann der Fall, wenn die Wahrscheinlichkeit einer 

 meSbaren Abweichung so ungeheuer klein ist, daB 

 wir in unserem kurzen Leben sie niemals erwarten 

 diirfen. Die Moglichkeit, eine solche Abweichung 

 einmal zu erhalten, liegt aber stets vor. In neuerer 

 Zeit haben wir oftmals gelernt, die Versuchsan- 

 ordnungen so abzuandern, daB die Wahrschein- 

 lichkeit nicht mehr arg klein ist. Dann beobachten 

 wir auch stets diese Abweichungen. 



Ich mochte hierfur nur einige wenige Beispiele 

 herausgreifen, natiirlich unter Weglassung aller 

 wahrscheinlichkeitstheoretischen Rechnungen. 



Ein solches statistisches Gesetz ist z. B. das 

 Mariotte Gay - Lussacsche Gesetz pv=RT fur 

 ideale Gase, das angibt, daB der Druck, den eine 

 bestimmte Menge Gas auf die GefaBwande aus- 

 iibt, um so hoher ist, je hoher die Temperatur 

 und je kleiner das Volumen ist, auf das es zu- 

 sammengedriickt wird. 



Das Gesetz ergibt sich aus der kinetischen 

 Gastheorie, nach der ja die Molekiile eines Gases 

 in schneller Bewegung sind. Jedes Molekiil fliegt 

 gerade aus, bis es auf ein anderes stoBt, prallt 

 von diesem ab und fliegt in irgendeiner anderen 

 Richtung weiter, bis es in dieser wieder auf ein 

 Molekiil stoBt usw. 



Die Bewegung eines jeden Molekiiles ist eine zu- 

 fallige: eine winzigkleineRichtungsanderung andert 

 den Zusammenstofi und die Richtung nach der 

 es abprallt, das getroffene Molekiil wird ebenfalls 

 in anderer Richtung angestofien und bald werden 

 alle Molekiile durch die kleine Anderung der Be- 

 wegungsrichtung eines einzigen eine ganz andere 

 Bewegung bekommen. Die Bewegung erscheint 

 dadurch vollig ungeordnet, jeder Zusammenprall 

 bedeutet einen Verzweigungspunkt, ebenso wie der 

 Aufprall der Kugel auf einen Nagel des Galton- 

 brettes. 



Um Ihnen klar zu machen, welch wildes Durch- 

 einander in einem Gase herrscht, sei erwahnt, daB 

 sich unter normalen Umstanden in jedem ccm 

 27 Trillionen Molekiile befinden mit einer Durch- 

 schnittsgeschwindigkeit von z. B. beim Sauerstoff 

 461 m pro Sekunde und daB jedes einzelne Mole- 



kul etwa 4 Milliarden mal pro Sekunde mit einem 

 anderen kollidiert. 



Der Druck auf die GefaBwande ergibt sich aus 

 den StoBen, mit denen die Molekiile bei ihrer 

 wilden Reise gegen die GefaBwande prallen. 

 Hatten sie alle beim Auftreffen die Geschwindig- 

 keit c, so ware der Druck p = |Nmc 2 , wenn N 

 ihre Anzahl pro ccm, und m die Masse eines 

 einzelnen Molekiiles. Dieser Druck wiirde dem 

 Mariotte-Gay-Lussacschen Gesetze entsprechen. 

 Nun haben aber nicht alle Molekiile dieselbe Ge- 

 schwindigkeit beim Auftreffen auf die Wande, 

 sondern bald groBere, bald kleinere. Es ist ganz 

 unmoglich anzugeben, welche Geschwindigkeit 

 ein einzelnes Molekiil gerade besitzt. Moglich ist 

 indessen, mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrech- 

 nung anzugeben, wie sich die Geschwindigkeit 

 um einen mittleren Wert herum verteilt, geradeso 

 wie es bei dem Galtonbrette moglich war, anzu- 

 geben, wie sich die Kugeln auf die einzelnen 

 Facher verteilen. Man bekommt das sog. Max- 

 wellsche Geschwindigkeitsverteilungsgesetz, nach 

 welchem von N Molekiile dN eine Geschwindig- 

 keit c-(-dc besitzen: 



wo a die wahrscheinlichste Geschwindigkeit be- 

 deutet. 



Bildet man das mittlere Gesch windigkeitsquadrat 

 sehr vieler Molekiile, so ergibt sich der Wert, den 

 wir in unsere Druckgleichung einsetzen mtissen. 

 Es ist aber durchaus nicht gesagt, daB gerade die 

 in einem Momente aufprallenden Molekiile diesen 

 Mittelwert besitzen. Eine groBere Abweichung 

 ergibt sich aber aus der Rechnung als hochst 

 unwahrscheinlich, so daB wir nur aus diesem 

 Grunde keine Gelegenheit haben sie zu beobachten. 



Ebenso ist es durchaus nicht gesagt, daB irgend- 

 eine Anzahl von n Molekiilen, immer genau das Vo- 

 lumen einnimmt, das das Mario ttesche Gesetz 

 verlangt; wie Smoluchowski berechnete, ist 

 die Wahrscheinlichkeit dafiir, daB statt )' Molekiile, 

 wie es das Mario ttesche Gesetz verlangt, eine 

 Anzahl n Molekiile in einem bestimmten Volumen 



j,n 



sind W(n)=e~* .. Diese Wahrscheinlichkeit ist, 



wenn n merklich von )' abweicht, bei groBeren 

 Voluminas ungemein klein. Nehmen wir an, wir 

 beobachteten tatsachlich einmal, daB die Dichte 

 eines Gases in einem ccm I / grb'fier ware als 

 normal, n also I / groBer als v ware, so konnen wir 



nach Smoluchowski erst nach 10 10 Jahren 

 auf die Wiederkehr der Erscheinung rechnen. Dies 

 ist eine Zahl mit 100 Billionen Nullen, die aus- 

 geschrieben 1000 mal um den Aquator reicht. 

 Gegen diese Zeit waren geologische Zeitperioden 

 verschwindend kurze Zeiten. 



Ganz andere GroBenordnung haben indessen 

 die Wahrscheinlichkeiten fur eine Abweichung 

 vom Mittelwert, wenn wir unsere Beobachtung 



