N. F. XVI. Nr. 9 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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matischen Ausdruck kann man dann fiir den Ab- 

 stand zweier Punkte wahlen ? Dariiber lassen 

 sich folgende allgemeine Regeln aufstellen: 



1. Sind die beiden benachbarten Punkte 

 x, , Xg, x., und x 1 +dx ll x., -j- dx 2 , x 3 + dx 3 , so 

 soil die Entfernung ds proportional mit den dx 

 wachsen. 



2. Die Mafirichtung soil keinen Einflufi auf 

 das Vorzeichen von ds haben, d. h. ds soil das 

 Zeichen bewahren, wenn die dx ihr Zeichen 

 wechseln. 



3. ds soil nach alien Seiten zunehmen und 

 im Anfangspunkt ein Minimum haben. Es muS 

 also der erste Dirferentialquotient verschwinden 

 und der zweite von Null verschieden sein. Also 

 mufi der Ausdruck, der die Entfernung definieren 

 soil, gleich ds 2 sein, wo ds die Ouadratwurzel aus 

 einer positiven ganzen homogenen Funktion 

 zweiten Grades in den dx ist. Wir erhalten also : 



(7) ds = V g n dxj '- + gj 2 dx, dx 2 + . . . + g 33 dx 3 -, 



wo die g stetige Funktionen der drei Grofien 

 Xj, x 2 , x 8 sind. 



Dabei sind iiber die MaBe, in denen die x zu 

 messen sind, gar keine Voraussetzungen gemacht. 

 Legt man spezielle Kartesische Koordinaten zu- 

 grunde, so haben wir nach den friiheren I 7 ormeln 

 fiir die g die Zahl i zu setzen. Dieser Spezialfall 

 bedeutet nichts anderes als dafi das Linienelement 

 von der speziellen Lage des Punktes ganz un- 

 abhangig ist, es ist beliebig verschiebbar. Dem- 

 gegeniiber hat nun die verallgemeinerte Darstellung 

 des Linienelementes den Vorteil, daB sie nicht 

 nur Verschiebungen, sondern ganz beliebige 

 Transformationen zulaBt und doch die Form be- 

 wahrt. Es mufi also zugrunde gelegt werden, 

 wenn wir die Invarianz der Naturgesetze beliebigen 

 Transformationen gegeniiber verlangen. 



Lassen wir auch noch Bewegungen der 

 Koordinatensysteme zu, so konnen wir diese, wie 

 wir gesehen haben, durch Zuhilfenahme der vierten 

 Koordinate x 4 , die durch die Zeit bestimmt wird, 

 in einer vierdimensionalen Mannigfaltigkeit deuten. 



Aus den Gleichungen fiir das Linienelement 

 kommt man nun zwanglos zu den physikalischen 

 Grundsatzen : 



Ein kraftefreier Korper soil sich nach dem 

 Ham ilto nschen 1'rinzip auf geradester Bahn 

 bewegen. Von den verschiedenen ds , die von 

 einem Punkt aus moglich sind, soil das kleinste 

 ausgesucht werden. Das wird mathematisch aus- 

 gedriickt durch den Ausdruck, der fiir die geoda- 

 tischen oder kiirzesten Linien auf einer Flache gilt : 



(8) J./'ds = o, 



d. h. die Variation zwischen zwei geniigend nahen 

 Punkten der Bahn soil verschwinden. Darin steckt 

 natiirlich das alte Tragheitsgesetz. Ebenso die 

 Forderung der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit 

 der speziellen Relativitatstheorie. l.egen wir 

 namlich die einfache Form 



(9) ds' J = dx- + dy - + dz- c 2 dt'' 



zugrunde, so ergibt sich daraus die Gleichung 

 fiir die Lichtausbreitung 



x a + y 2 + z 2 -c 2 t a = o ( 

 die wir bereits friiher abgeleitet haben (5). 



In der neuen Einstein'schen Fassung liefert 

 aber die Gleichung (8) ein viel allgemeineres 

 Gesetz. 



Unter dem Einflufi von Tragheit und Schwere 

 schreitet jeder Punkt auf einer geodatischen Linie 

 der Raum- Zeit- Mannigfaltigkeit fort. Das sind 

 natiirlich im allgemeinen keine geraden Linien, 

 da das Gravitationsfeld mit dem Zwang zu ver- 

 gleichen ist, der den Punkt veranlaSt, sich auf 

 einer bestimmten Flache zu bewegen. 



Die g (Gravitationspotentiale) sind dabei 

 Funktionen , die von den umgebenden Massen 

 abhangen. 



Ist kein Gravitationsfeld vorhanden , bewegt 

 sich der Punkt also kraftefrei, so gilt die Gleichung: 



d/')/ dx 2 + dy- + dz'^cMt* = o. 



Unterwerfe ich diesen Ausdruck irgendeiner 

 Beschleunigungstransformation, so treten in ihm 

 die Grofien g auf. Es wird : 



(10) <5/Vg 11 dx 1 a + g 12 dx 2 i! + . ...g 44 dx 4 2 = o. 



Es konnen also die durch die Transformation 

 ,,erzeugten" Funktionen g auch als Wirkungen 

 eines Gravitationsfeldes erklart werden, so dafi 

 das Aquivalenzprinzip erfiillt ist. Die Gravitations- 

 probleme sind somit Folgerungen einer allge- 

 meinen Bewegungslehre der Relativitatstheorie. 



Aus (10) gelang es Einstein, die Gesetze 

 der Planetenbewegung abzuleiten, und zwar folgt 

 das Newton' sche Gesetz als Spezialfall aus ihnen 



10. Bestatigungen der Theorie. 



i. Betrachten wir zunachst ein zeitliches 

 Linienelement, d. h. setzen wir dx, = dx 2 = dx., = o, 

 so wird: 



Da nun g u von Ort zu Ort sich andert, heilit 

 das : die Zeit ist mit dem Ort und dem Gravi- 

 tationsfeld veranderlich. Man kann aber jedes 

 schwingende Gebilde als Uhr auffassen , und es 

 miifiten die Schwingungszahlen dieser Uhr in der 

 Nahe grofier Massen mit dem Gravitationspoten- 

 tial g sich andern. Diese Anderung hat sich bei 

 den Spektrallinien der Sonne tatsachlich mit 

 grofier Wahrscheinlichkeit gezeigt. Es ergab sich 

 in dem grofieren Gravitationsfeld der Sonne eine 

 langsamere Schwingung der Natriumteile als auf 

 der Erde, d. h. eine Verschiebung der Spektral- 

 linie nach rot. 



2. Nehmen wir ein raumliches Linienele- 

 ment, d. h. setzen wir dt = o, so wird, wenn wir 

 der Finfachhcit halber auch dx, und dx 2 = o setzen: 

 ds-=g 11 dx 1 -. 



