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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. XVI. Nr. 20 



Anregungen und Antworten. 



Zu der russischen Vervielfalligungsmethode. In Nr. 52 

 des vorigen Jahrgangs wurde unter der Uberschrift: ,,Wie 

 unsere Feinde rechnen" Mitteilung gemacht uber Verviel- 

 falligungsmelhoden primiliver Vblker, die das Einmaleins 

 nicht im Kopfe haben. Fiir die serbische Methode wurde 

 der Beweis der Ricbtigkeit gefunden und mitgeteill, fur die 

 russische aber noch keine ausreichende Erklarung. Als Bei- 

 spiel wurde benutzl das Produkl von 12 X ll - Die eine Zahl 

 wird fortdauernd halbiert und (unter der Vernachlassigung 

 der Bruchleile einer ganzen) die Quotienlen nebeneinander 

 geschrieben. Die andere Zahl aber wird immer verdoppell 

 und die Produkle , zu deren Erzeugung der ariihmelische 

 Versiand jener Volkerschaften ausreichl, darunler geschrieben. 

 Also im vorliegenden Falle : 



12 6 3 I 



II 22 44 88 



Dann werden ausschliefilich aus der unleren Reihe die 

 Zahlen, die unler einer ungeraden der oberen Reihe slehen, 

 zusammengezahll 44 -)- 88 = 132 ist das gesuchte Produkl. 



Zur Erklarung nun das Folgende: Vervielfaltigt wird ja 

 auch, namlich die Zahl II, diesmal hintereinander mil 2, also 

 auch mit 4 und 8. Diese beiden letzten Fakloren aber sind 

 zusammen 12 mil der vervielfaltigt werden sollte. Dies ge- 

 schieht also bei der primitiven Methode nacheinander anstatl 

 auf einmal. Die beiden Produkle sind dann einfach zusammen- 

 zuzablen. Was bei der Melhode so verblurfend wirkl, isl 

 immer die Vernachlassigung der Halben bei der fortgesetzten 

 Teilung. Man meint, dadurch musse eine Ungenauigkeit ein- 

 geluhrt werden, und es kbnne sich im Resultate nur um eine 

 Annaherung handeln. Aber die obere Zahlenreihe dient ja 

 nicht zur Rechnung, sondern nur als Index fur diese, die 

 lediglich in der unteren Reihe geschieht, und immer, wenn 

 oben eine Halbe unter den Tisch fallt, dann ist auch eine 

 Ungerade vorhanden, die die darunter stehende Zahl fixiert. Die 

 Anzahl der Slellen wird verminderl, aber es findel gewisser- 

 maflen eine Abschlagszahlung stall. 



Nach Besprechung mit emem Fachmann ') scheint mir aber 

 die folgende Erklarung den Vorzug zu verdienen. 



Wenn es Einer in Vervielfaltigung und Teilung nicht 

 weiter gebrachl hat, als mil dem Faklor 2 zu operieren, so 

 ist fur ihn schon 7 X ^ em Zahlenratsel. Also komml er, 

 wenn er mit seiner Unwissenheit einige Genialitat verbindet, 

 auf den Gedanken, die eine Zahl mil 2 zu leilen, die andere 

 zu vervielfalligen. Dafl Produkl mufi ja doch dasselbe bleiben. 

 Der algebraische Ausdruck fur diese einfache Wahrheil ist 



Tut er das einmal, so hat er 14 X 4' womit dem Russen 

 aber noch nicht gedient ist. Tul er es zweimal, so hal er 

 28 X 2 - Das 8 ent scnon ener - Aoer am leichlesten ist es, 

 wenn er diese einseitige Vervielfaltigung und Teilung so lange 

 fortsetzl, bis durch lelztere die I erreicht ist. Dann ist die 

 verviellaltigte Zahl zugleich das gesuchte Produkt. 



Auf diese Weise erhalt man eine ganze Reihe von Zahlen, 

 die wir, wie die Russen zu lun pflegen, unlereinander schreiben 

 wollen , und von denen immer die obere mit der unteren 

 vervielfaltigt, dasselbe Produkt liefert: 



S 



X 



7 



4 



X 



14 



2 



X 



28 



I 



X 



56 



Naliirlich sucht man sicb unter diesen Zahlengruppen die 

 aus, deren einer Faktor eine I isl. Da gibt es nichts mehr 

 zu rechnen, da die andere das gesuchte Produkt selber ist. 



Aber so einfach ist die Sache nur, wenn es sich um 

 gerade Zahlen handelt. Ungerade kann man nichl ohne 

 Bruch durch 2 teilen und auf Bruchrechnungen kann sich der 

 nicht einlassen, der im Einmaleins noch nicht zu Hause ist. 



Nehmen wir den Fall 9X7- 



9, durch 2 geteilt, gibl 4'/j. Die Russen schreiben in 

 diesem Falle einfach 4 in folgender Reihe : 



4 

 14 



2 

 28 



I 



56 



Nun slimml die Sache nicht. Denn die Endzahl der 

 unleren Reihe ist wieder 56. Welcher Fehler ist gemacht, 

 wie kann man denselben korrigieren? 



9 ist durch 2 geteilt, eine I ist iibrig geblieben. Diese 

 wurde vernacblassigt. Sie hatle mit der darunterstehenden 

 Zahl vervielfalligl werden mussen. i X 7 = 7- Und dieser 

 Fehler schleppl sich durch die ganze Keihe und mil diesem 

 Betrag mufi die Endzahl also vermehrt werden, wenn das 

 richlige Ergebnis erhallen werden soil. Hier haben wir also 

 die Erklarung fur das Zusammenzahlen der unleren Ziffern, 

 die unter den ungeraden Zahlen stehen. 



Nur dafl die Erklarung noch einer Erweiterung bedarf. 

 Der analoge Fall mil der 9, die nicht ohne Bruch durch 2 

 leilbar ist, wiederholt sich auch bei der Teilung von geraden 

 Zahlen, wie z. B. bei der 12 in unserem ersten Beispiel, nur 

 nicht am Anfang, sondern in der Mi'.te der Reihe, ja bei alien 

 geraden Zahlen, die nicht wie die 4, die 8, die 16: Potenzen 

 von 2 sind, und damit wird das ganze Verfahren verstandlicb. 



Adolf Mayer. 



*) Herrn J. van Dam, Direktor a. D. zu Deventer. 



Literatur. 



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Voss, A., Der Botanikerspiegel von 1905 und 19!, 

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Heller, Dr. G,, (jber die Konstilution des Anthranils. 

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Inhaltt Kurl Krause, Grundwasser und Quellen. (18 Abb.) S. 265. -- Einzelberichte : C. Kelber, Die katalytische 

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 Rucfolf Velter, Bt-itrage zur Kenntnis der analylischen Eigenschaften der Kohlenstoffmodifikationen und orienlierende 

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 Zu der russischen Vervielliilugungsmethode. S. 280. Literatur: Liste S. 280. 



Manuskripte und Zuschriflen werdeu an Prof. Dr. H. Miehe, Berlin N 4, Invalidenstrafie 42, erbelen. 



Verlag von Gustav Fischer in Jena. 

 Druck der G. Patz'schen Buchdr. Lippert & Co. G. m. b. H., Naumburg a. d. S. 



