N. F. XVI. Nr. 35 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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aus entwickelt. Der Gipfelpunkt derselben ist die 

 von Mar gules aufgestellte Energiegleichung der 

 abgeschlossenen Luftmasse. Mit deren Hilfe lassen 

 sich die vertikalen Umlagerungen von Luftmassen 

 quantitativ berechnen. Im AnschluB daran werden 

 die Falle behandelt, in denen die dabei zugrunde 

 gelegten Verhaltnsse, d. h. nebeneinanderliegende 

 Luftmassen von ungleicher Temperatur auftreten. 

 So werden insbesondere die grofien atmospharischen 

 Zirkulationsbewegungen, sowie auch die Stromun- 

 gen in den wandernden Hoch- und Tiefdruck- 

 gebieten unserer Breiten dem Verstandnis naher 

 gebracht. Es wirdiiberall versucht,dieErscheinungen 

 fur den stationaren Zustand festzustellen, sowie die 

 in der Regel auftretenden Abweichungen von 

 diesen. Auch hierbei schlieBt sich die Darstellung 

 eng an die Arbeiten von Margules an. 



Die Darstellung ist im ganzen Buch von grofier 



Anschaulichkeit. Diese wird noch erhoht durch 

 eine Reihe von Zahlenbeispielen, die die Anwen- 

 dungsmoglichkeit der abgeleiteten Gleichungen 

 zeigen, zugleich aber auch Gelegenheit bieten, 

 gegebenenfalls auf die .Schwachen der Theorie 

 hinzuweisen, was mit grofier Unparteilichkeit ge- 

 schieht. Schwierigere und umstandliche mathema- 

 tische Ableitungen sind vermieden oder doch nur 

 kurz angedeutet. Das Buch wird jedem studieren- 

 den und lehrenden Physiker, der sich iiber die 

 wichtigsten Fragen der jungen Wissenschaft einen 

 genaueren Uberblick verschaffen will, Freude 

 machen. Aber auch der Fachmeteorologe wird 

 es mit Gewinn lesen, zumal ihm die zahlreichen 

 eingestreuten Literaturnachweise bisMitte 1915 

 reichend - - beim weiteren Forschen gute Dienste 

 leisten konnen. Scholich. 



Anregungen und Antworten. 



IQ der Naturw. Wochenschr. N. F. XV Nr. 52 vom vorigen 

 Jahre findet sich auf Seite 747 unter ,,Wie unsere Feinde 

 rechnen" eine Mitleilung iiber ein bci deu Russen gebrauch- 

 liches Verfalircn zur scbriftl. Auflbsung grbfierer Multiplikationen. 

 ,,Es handle sich urn die Vervielfaltigung I2X 11 * so wird die 

 eine Zahl fortdauernd halbiert und (untcr Vernachlassigung 

 der Bruchteile einer ganzen) die Quotienten ncbeneinander gc- 

 schrieben. Die andere Zahl aber wird immer vcrdoppelt und 

 die Produkte, zu deren Erzeugung der arithmetische Verstand 

 jener Volkerschaften ausreicht, daruntcr geschrieben. Also im 

 vorliegenden Falle: 



12 6 3 I 



11 22 44 88 



Dann werden ausschliefilich aus der unteren Reihe die Zahlen, 

 die unter einer ungeraden der oberen Reihe stelien, zusammen- 

 geza'hlt. 44-^88=132 ist das gesuchte Produkt." 11,1,1: 

 H 5 2 I 



12 24 48 96 



12 -\- 24 + 96= 132. 



Die allgemeine Richtigkeit des Verfahrens ergibt sich aus folgen- 

 der Betrachtung : Jede ganze Zahl Z lafit sich als Summe einer 

 Potenzreihe von 2 mit ganzen fallenden Exponenten darstellen : ') 



')DerBeweis fiirbcliebige ganze Z = 20-)- 2" ' -|- 2 - -}- 

 -|-2 3 -|-2' 3 -j-2'-j- 2 unter den angegebenen Bedingungen wird 

 sich so gestalten : 



Jede ganze Zahl ist entweder = dem Produkt einer anderen 

 ganzen Zahl mit der Zahl 2 oder = einem solchen Produkt -|- I. 



So ist dieZahl 7 ^2-/i -p(4 db i )> wo das obere Zeichen 

 fiir ein ungerades, dasuntere fiir ein gerades Z zu nehmen ware. 



Z[ lafit sich ebenso zerlegen: 



und so fort, bei der nten Zerlegung Z n , = 2Z,,-|- fi -)- IV wo- 

 bei das positive Zeichen bei ungeraden, das negative bei ge- 

 raden Z l ,Z 1 . . . Z n , zu verwenden ware. 



Ist die nte Zerlegung die letztc, die eine ganze Zahl er- 

 gibt, so ist Z n = I ; daraus folgt: 



schliefilich Z = 



Z:= 2 n-j-2n i -|- 2 n 2 -|- . . . -|- 2 2 -|- 2 1 -)- 2, 

 in der jedoch eine oder mehrere Potenzen von 2 ausfallen 

 konnen. Fiir unseren Zweck moge folgender Hinweis genugen : 



1=2, 2 = 2', 3 = 2'+2,... 7 = 2- ! + 2' + 20..., 



22 = 2 4 -|-2 2 -f-2 l . . ., 70 = 2 () -)-2 3 --)-2 2 USW. 

 Ub die Zahlen ungerade oder geradc sind, ersieht man aus dem 

 letzten Glied der Summe, das bei ungerader Zahl 2=i ist. 



Seien nun 2a, 2b, 2c, 2d, 2 die nicht ausfallenden Potenzen, 

 so ware Z = 2a -j-2t> -|-2<: -\- 2d -(-2, also ungerade. 



Die erste Reihe der russ. Rechnungsart wird durch auf- 

 einanderfolgende Divisionen durch 2 unter Vernachlassigung 

 von Restbruchteilen gewonnen. Das Ergebnis ist nur dann 

 eine ungerade Zahl, wenn der letzte Summand der neuen, nach 

 der Division durch 2 erhaltenen Summe 2 ist. Das tritt in 

 unserem Falle nach der dtcn, e'en, bten und a'en Division 

 ein. \Vir bilden die I. Reihe unter Beriicksichtigung nur der 

 ungeraden Ergebnisse : 



2 a -(- 2 b -4- 2 c -|- 2 d -j- 2 ... 

 ungerade 

 Z 



2d 



a tl -L 2b d -I- 2C d -j- 2 . 



ungerade 

 /. Z 



2a 



2 c 2^ 2^ 



c_)_2b c -j- 2 . . . 2a-b-j-2 ... 2 



ungerade ungerade ungerade. 



Soil das Produkt Z-N. gebildet werden, so wird die 

 2. Reihe nach Art der Russen dadurch gewonnen, dafl die 

 Zahl N oder N'2 fortgesetzt verdoppelt wird, und lautet 

 demnach unter Beriicksichtigung nur der Glieder die unter 

 ungerade Zahlen der I. Reihe zu stelien kommen. 



N-2 . . . N-2d . . . N-2C . . . N-2b . . . N-2a. 

 Die Addition dieser Glieder liefort das gesuchte Produkt: 

 N 2-f-N-2d-f-N.2c-|-N.2b-{-N-2a= 



Ist Z gerade, fehlt also in der Summe das Glied 2, so lauten 

 die Rcihen : 



2 -j-2 b + 2c -)- 2d . . . 2a-d_|_ 2 b-d_)_2c d-)-2 . . . 

 gerade ungerade 



N-2 N-2d 



2 a c_j_2b-c_j-2 . . . 2a b-)-2 ... 2 



ungerade ungerade ungerade 



N-2C N-2b N- 2 a 



_ 



Je nachdem in den einzelnen Summanden (1 + ' ) oder 



(i 1) zu nehmen ist, bleiben oder verschwinden diese 

 Summanden. 



Zb ist demnach = der Summe einer Potenzreihe von 2 

 mit ganzen, fallenden Exponenten, in der aber einzelne oder 

 auch alle Summanden mit Ausnuhme des ersten verschwinden 

 konnen. Dr. Schumann. 



