N. F XXI. Nr. 4 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



beriihrenden metaphysischen Hypothese aus, dafi 

 die Ganzheit nur eine andere Form der 

 Allheit, des Absoluten oder der Ge- 

 samtwelt sei, derart da8 der im Raum 

 und Zeit beschrankte Organismus die 

 inseinemlnnernsich abspielenden V or- 

 gan ge auf die Totalitat desRaumesund 

 der Zeit (= Welt) abbilde. Dann mufi nam- 

 lich jedes Lebewesen auch eine Ganzheit sein; 

 denn ein grofierer Abbildungsraum als die Un- 

 endlichkeit ist nicht mehr moglich und ein klei- 

 nerer widersprache der Abbildungsfunktion, die 

 ein ganz bestimmt definierbarer mathematischer 

 Begriff ist. 



Als Veranschaulichung dieses unanschaulichen 

 Theorems konnen wir eine unendliche Ebene 

 heranziehen, die in unendlich viele kleine Rechtecke 

 zerlegt ist. 



Teilen wir den Punkten dieser Ebene Z die 

 Menge aller komplexen Zahlen z zu (Z als kom- 

 plexe Zahlenebene), so wird durch eine gewisse 

 Funktion f(z) jedes der Rechtecke nach den Regeln 

 der Funktionentheorie umkehrbar, eindeutig und 

 konform (=winkeltreu) auf die gesamte unendliche 

 Halbebene von Z abgebildet; f(z) ist eine ellip- 

 tische Funktion spezieller Art. Die Menge 

 derZahlen z ist ein Koordinat ensystem 

 (ein 2-dimensionalesl =x--yi), ihre 

 Rolle in der Gleichung erfiillen in der 

 lebenden Substanz die Anschauungs- 

 formen des betreffendenOrganismus. Wir 

 fassen hier jegliche Anschauungsform, ohne auf ihre 

 neuere erkenntniskritische Behandlung einzugehen, 

 als ordnungsschematischen Begriff auf, deren ein- 

 zelne Teile die Begriffsganzheit in sich, nicht unter 

 sich enthalt. Fur den Organismus sind die An- 

 schauungsformen scheinbar a priori vorhandene 

 Ordnungsschemata, mit denen er seine Erlebnisse 

 auf seine Totalitat abbildet (oder begreift f). Und 

 wahrend wir jedes Koordinatensystem und die 

 in ihm ausgefiihrten Funktionen in unserem In- 

 tellekte trennen miissen (die ,,Kurve" im Koor- 

 dinatensystem ist eine fortwahrende neue Asso- 

 ziation zwischen Anschauungsform und Funktions- 

 begriffl), sind in der lebenden Substanz beide innig 

 verbunden. Mit dem Kategoroid, wie wir diesen 

 organischen Faktor aus einem gleich naher zu er- 

 brternden Grunde nennen wollen, ist die Unendlich- 

 keitsabbildung und das dazugehorige Koordinaten- 

 system zugleich gegeben, ein Hinweis darauf, da6 

 Mathematik allein fur Biologic ungeniigend ist. 

 Die Gesetze des logischen Verbindens der er- 

 fiillten Anschauungsformen nannte Kant Kate- 

 gorien (statt Gesetze ist vielleicht besser zu 

 sagen Verknupfungsformen !), und wir diirfen die 

 Totalitatsfunktion f(z), dasVitalaxiom, als die 

 den intellektuellen menschlichen Kategorien vor- 

 hergehende, den Anschauungsformen noch 

 immanente Kategorie ansehen. Vital- 

 axiom deswegen, weil es wie ein Axiom einer 

 Wissenschaft dem handelnden Leben als Richt- 

 schnur fur sein Verhalten dient. Es ist der 



mathematische Ausdruck des Instinktes. Seine 

 wesensheitliche Verbindung mit den Anschauungs- 

 formen ist eben das Kategoroid. 



Soweit das psychoide Element unserer Unter- 

 suchung. 



II. 



Jede unendliche Ebene Z lafit sich so in unend- 

 lich viele gleichgestaltete und gleichgroBe Figuren 

 - Gebiete zerlegen, dafi sie gleichmaSig und 

 liickenlos von diesen iiberdeckt erscheint. 



Aber nur in ganz bestimmt gestalteten solchen 

 Gebieten T konnen durch eine Funktion f(z) alle 

 Punkte im Innern von F eindeutig und umkehrbar 

 den Punkten der ganzen Ebene Z zugeordnet 

 werden. So also, dafi die ganze Ebene Z auf 

 jedes seiner Teilstiacke abgebildet wird und um- 

 gekehrt. 



V . VI 



Z Ebene 



zu jedem Rechtecke (I...) gehoren 

 1 Pol (1...6)A zweiter Ordnung 



Einfachste elliptische Funktion nach Weierstrass. 



Eine solche Funktion heifit eine elliptische 

 (vgl. obenstehende Figur). Der Mathematiker 

 unterscheidet die unendliche Halbebene Z, auf 

 die alle F durch f(z) abgebildet werden, von der 

 Ebene der Gebiete selbst und nennt sie aus nicht 

 naher zu erorternden Griinden die unendlichblattrige 

 Riemannsche Flache f(z). Dieser bei weiterem 

 Eindringen in unsere Materie sehr wichtige Um- 

 stand kommt fur den momentanen Bedarf zur vor- 

 laufigen Orientierung nicht in Betracht. 



Rein funktionentheoretisch zerfallt jede ellip- 

 tische Funktion f(z) in eine unendliche Summe von 

 Teilfunktionen g(z), die selbst wieder von ihren so- 

 genannten Polen, das sind Stellen in der Ebene Z, 

 wo die Funktion unendlich wird, abhangig sind. 

 Die Anzahl dieser Pole und deren 

 funktionentheoretische Ordnung ist in 

 jedem der Gebiete gleich. Aus der Lage 

 der Pole in einem Gebiet kann nach dem Satze 

 von Mittag Leffler die ganze Funktion f(z) bis auf 

 einen additiven Bestandteil abgelesen werden. 

 g(z) sind die sogenannten Hauptteile einer mero- 

 morphen Funktion. 



