Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Neue Folge 21. Band; 

 der ganzen Reihe 37. Band. 



Sonntag, den 16. Juli 1922. 



Hummer 



Euklidische Geometric, Physik und die Vierdimensionalitat der Materie. 



Von Dr. .). Voigt. 



[Nachdruck verboten.] 



Mil 1 1 Abbildungen. 



Zu den Grundanschauungen der Euklidischen 

 Geometric gelangen wir durch Abstraktion. Die 

 weitestgehende Abstraktion verlangt der Begriff 

 ,,Punkt", denn er bildet die Grenze das 



..Differential" - - des Begrifflichen in der Mathe- 

 matik iiberhaupt; wir miissen dabei das Vor- 

 handensein von etwas sinnlich unfafibarem aner- 

 kennen. Wenn wir jemanden zu diesem Begiiff 

 hinfiihren wollen, pflegen wir von sinnlich wahr- 

 nehmbaren Dingen - - etwa einer Kegelspitze - 

 auszugehen und darauf hinzuweisen, dafi weder 

 die feinsten technischen Hilfsmittel noch die tat- 

 sachliche Beschaffenheit des Stoffes das herzu- 

 stellen gestatten, was wir uns unter einem 

 exakten Kegel oder einer Kegelspitze vorstellen 

 miissen, und wenn wir so bei der idealen Form 

 eines in Gedanken aufgebauten Gegenstandes an- 

 gelangt sind, ist der letzte Schritt zur volligen 

 Abstraktion nicht mehr schwer; die Spitze oder 

 besser die Grenze der idealen Korperspitze gegen 

 die Umgebung bezeichnen wir als Punkt. Wir 

 formulieren schliefllich so: Der Punkt hat keine 

 Dimension. 



Haben wir uns diese Erkenntnis zu eigen ge- 

 macht, dann konnen wir aufbauend weitergehen 

 und sagen : Durch die Bewegung eines Punktes 

 entsteht eine Linie. Sinnlich wahrnehmbar ist die 

 so erhaltene Linie auch nicht, aber wir kommen 

 ihr doch in einer Beziehung naher als dem 

 Punkt, denn den Weg, den der Punkt zuriicklegt, 

 konnen wir messend verfolgen und sagen daher, 

 die Linie hat eine Dimension. Allein, wenn 

 wir uns nun mit Punkten und Linien naher be- 

 schaftigen und die gewonnenen Ergebnisse anderen 

 ubermitteln wollen, so brauchen wir sinnlich 

 wahrnehmbares Hilfsmaterial und deuten Punkte 

 und Linien mit Hilfe von Bleistift oder Kreide 

 auf Papier oder Tafel an. Damit entfernen wir 

 uns wieder vom Abstrakten und gehen denselben 

 Weg zuriick, der uns zum Ideellen hingefiihrt 

 hat, aber das schadet nichts, solange wir dessen 

 eingedenk bleiben, da6 es sich bei unseren 

 Figuren nur um grobsinnliche Ausdriicke fur 

 vollig abstrakte Verhaltnisse handelt. Bei alien 

 geometrischen Betrachtungen lauft also immer 

 eine unbewuflt geleistete Geistesarbeit nebenher. 

 Durch die Bewegung eines Elementes von 

 null Dimensionen haben wir ein Element mit 

 einer Dimension erhalten ; verfolgen wir die Be- 

 wegung einer Linie, dann sehen wir eine Flache, 

 also aus der Bewegung eines Elementes mit einer 

 Dimension eih solches mit zwei Dimensionen 



entstehen. Der Vorgang lafit sich bekanntlich 

 leicht mit Hilfe eines Fadens oder einer ge- 

 zeichneten Linie versinnbildlichen; Papier oder 

 Tafel dienen dabei als - - allerdings bereits vor- 

 handene Ebene. 



Durch die Bewegung einer Flache wiederum 

 entsteht ein sog. ,,K6rper", d. h., aus der Be- 

 wegung eines zweidimensionalen entsteht ein 

 dreidimensionales Element. Der Sprachge- 



brauch erlaubt es, auch von der Entstehung einer 

 bestimmten Dimension oder von Elementen der 

 ersten, zweiten oder dritten Dimension zu reden. 



Zur Veranschaulichung des letzterwahnten 

 Vorgangs bedient man sich mit Vorliebe der Er- 

 zeugung von Rotationsfiguren, indem man z. B. 

 eine kreisformige Flache um ,.einen Durchmesser 

 oder ein Rechteck um eine Mittellinie dreht; sehr 

 instruktiv macht man den Vorgang klar, indem 

 man beispielsweise die Entstehung eines Prismas 

 durch Herausheben der Grundflache aus ihrer 

 urspriinglichen Ebene zeigt (Abbildung i). 



Damit sind wir in das Gebiet der Stereometric 

 gekommen. 



Wenn wir jetzt auf die aufgestellten Grund- 

 satze zuriickschauen, dann konnen wir sie in 

 einen allgemeinen Satz zusammenfassen , der 

 folgendermaSen lautet: Aus der Bewegung von 

 Elementen der n ten Dimension entstehen Elemente 

 der (n + i) ten Dimension. Allerdings haben wir 

 diesen Satz nur in bezug auf die 3 ersten Glieder 

 von n richtig befunden. Da sich nun jede Linie 

 auf die Einheit von der Grofie a, jede Flache auf 

 die Einheit a' 3 und jeder sog. Kbrper auf die 

 Einheit a 3 zuriickfuhren lafit, so lassen sich die 

 Einheiten in eine geometrische Progression ordnen 

 und wir erhalten die Reihe a, a 2 , a 3 usw. - 

 Folgerichtig miissen wir nun durch die Bewegung 

 eines Elementes 3 ter Dimension zu einem Ele- 

 ment der vierten mit der Einheit a 4 kommen. 



Das Anschauungsexperiment versagt jedoch 

 hierbei. Lassen wir namlich z. B. eine Kugel um 

 einen Durchmesser oder um eine auBerhalb ihrer 

 selbst liegende Achse rotieren, so sehen wir im 

 ersten Falle nichts Neues, im zweiten Falle einen 

 Ring mit kreisformigem Ouerschnitt entstehen. 

 Nehmen wir im zweiten Falle andere Korper, so 

 erhalten wir ebenfalls Ringe, natiirlich mit ent- 

 sprechenden Querschnitten; wahlen wir andere 

 Bewegungsrichtungen (gerade, krumme Wege), 

 so andert sich prinzipiell nichts an dem Ergebnis : 

 Wir erhalten Korper mit einem Querschnitt, der 

 der Projektion des Ausgangskorpers auf eine senk- 



