N. F. XXI. Nr. 30 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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Unsere Aufgabe besteht also jetzt darin, die 

 behaupteten Analogien zu begriinden und das 

 Welterkennen und begreifen an Hand der 



exakten Wissenschaften zu erlautern. Hierbei soil 

 zunachst die Analogic der entsprechenden Punkte 

 auf Gj und G 2 (exakte Wissenschaften und Philo- 

 sophic) nachgewiesen werden und dann diesem 

 wissenscha ft lichen das kiinstlerische Er- 

 kennen gegeniibergestellt werden; also (G, G 3 ) G 3 . 



I. Die exakten Wissenschaften. 



Betrachten wir zunachst einmal ,,auf der Ge- 

 raden Gj" die Mathematik in ihren zwei Haupt- 

 teilen, der Analysis und der Geometrie. Nicht als 

 ob wir mehr Mathematik betreiben wollen, als 

 hier unbedingt nb'tig ist ! Wir haben nur die Ab- 

 sicht, uns die Entwicklung und den Aufbau dieser 

 Wissenschaften klar zu machen. 



Die ganze Arithmetik und damit auch die 

 Analysis fuBt auf 1 1 Grundgesetzen. Fur unsere 

 Betrachtungsweise ist es dabei ganz gleichgiiltig, 

 dafi man sich dariiber streitet, ob diese Gesetze 

 mehr durch die Anschauung (Intuition) erkannt 

 worden sind oder ob die Logik einzig und allein 

 daran beteiligt ist. Fur die ganz en Zahlen ver- 

 tragen sich diese Gesetze vorziiglich mil unserer 

 gewohnlichen Welt, auch noch fur die Brtiche, 

 obwohl dort schon die Operationen ein etwas 

 formaleres Geprage annehmen. So wie aber jetzt 

 die Grenzen des ,,algebraischen Reiches" weiter 

 vorgeriickt werden, tritt diese for male Be-, 

 deutung immer mehr in den Vordergrund und 

 bei der Multiplikation der relativen Zahlen hat 

 der Mathematiker unsere gewbhnliche Welt schon 

 vollig verlassen. 



Denn (-(- i) (-(- i) und ( i) ( i) hat an 

 und fur sich gar keinen Sinn. Wenn man die 

 positiven Zahlen als Vermogen, die negativen als 

 Schulden deutet, so kann es hochstens einen Sinn 

 haben (+ i) oder ( i) i mal, 3 mal n mal zu 

 nehmen, aber nicht (-j- i) (-f- n) oder (-|- i) 

 ( n) usw. Es kann hochstens den Sinn haben, 

 den ich ihm beilege. Dabei fordere ich, daB nur 

 kein Widerspruch mit den friiheren Satzen auf- 

 tritt und setze rein formal fest: ( i) ( i) = 

 -f- I usw. 



Ahnlich ist es mit den Symbolen der Dimen- 

 sionen. a, a' 2 , a 3 haben noch eine anschauliche 

 Bedeutung: Strecke, Flache, Korper; aber a 4 , 

 a 5 . . . a n ist nur eine formale Fortbildung des 

 Potenzprinzips, und nur das mathematische Streben 

 nach eindeutiger Allgemeingiiltigkeit und hat dem- 

 nach auch nur formalen Charakter. Diese Sym- 

 bolik schreitet immer weiter. Von dieser Fahig- 

 keit, Symbole zu schaffen, macht der Verstand 

 nur dann Gebrauch, wenn ihn die Stellung des 

 Problems dazu zwingt. Die Symbole der Wurzel 

 (V ) und die Zahl i = }di fiihren dann zur letzten 

 Erweiterung des Zahlenreiches. Denselben rein 

 formalen Charakter zeigt die hb'here Analysis. 



Somit beruht die Sicherheit der Analysis nur 

 darauf, daB ihre Grundgesetze, rein formal und 



ohne Rticksicht auf ihren anschaulichen Inhalt 

 betrachtet, ein logisch widerspruchsfreies System 

 bilden. Der Mathematiker studiert eben nicht die 

 Objekte der gegebenen Welt nur das Formale 

 hat fur ihn Interesse. 



Ahnlich liegt die Sache bei der Geometrie. 

 Die Geometrie, die man auf der Schule betreibt, 

 ist die euklidische. Ihr Gebaude steht so fest 

 und sicher da, daB es zum Sprichwort des einzig 

 Wahren und Festen geworden ist. Um so 

 grb'Ber muB das Erstaunen des Neulings sein, wenn 

 ihm allmahlich gezeigt wird, dafi sich auch 

 widerspruchslose Geometrien aufbauen lassen, 

 die einfach eins der Axiome, der Grundfesten 

 dieser Wissenschaft, fallen lassen. Hierbei werden 

 ganz andere und zunachst sehr befremdende Lehr- 

 satze aufgefunden, und es wird letzten Endes dar- 

 getan , daB die euklidische Geometrie nur ein 

 spezieller Teil dieser nichteuklidischen ist. Jeden- 

 falls wird wohl jeder danach der euklidischen 

 Geometrie nicht mehr die absolute Sicherheit 

 auch fur die reale Welt schlechthin zuschreiben 

 kbnnen. 



Um die Mbglichkeit einer anderen Geometrie 

 plausibel zu machen, mb'chte ich im Zweidimensio- 

 nalen folgendes Beispiel von H e 1 m h o 1 1 z angeben : 



,,Wir wollen uns eine eigenartige Welt vor- 

 stellen, die mit Wesen bevolkert ist, die keine 

 Dicke oder Hohe haben und wir wollen ferner 

 voraussetzen, dafi diese ganzlich flachen Wesen 

 alle in derselben Ebene sich befinden und nicht 

 aus ihr herauskbnnen. Wir nehmen aufierdem 

 an, daB diese Welt weit genug von den anderen 

 Welten entfernt sei, so daB sie deren Einflufi ent- 

 zogen ist. Wenn wir einmal dabei sind, Hypo- 

 thesen zu machen, so kostet es uns keine Miihe, 

 diese Wesen mit Vernunft auszustatten und sie 

 fiir fahig zu halten, Geometrie zu treiben. In 

 diesem Falle werden sie dem Raume zwei Dimen- 

 sionen zuschreiben. Aber wir wollen jetzt voraus- 

 setzen, daB diese eingebildeten Lebewesen, indem 

 sie zwar ohne Dicke (Hohe) bleiben, eine kugel- 

 fbrmig gewolbte Gestalt haben und nicht eine 

 flache Gestalt, und daB sie alle auf derselben 

 Kugel waren, ohne Macht zu haben, sich von ihr 

 zu entfernen. Welche Geometrie wiirden sie 

 konstruieren f Es ist klar, daB sie vor allem dem 

 Raume zwei Dimensionen zuschreiben wiirden; 

 was wiirde nun fiir sie die Rolle der geraden 

 Linie spielen? Offenbar der kiirzeste Weg zwi- 

 schen zwei Punkten auf der Kugel, d. h. ein 

 Bogen des groBten Kreises; mit einem Worte: 

 ihre Geometrie wiirde die Geometrie der Kugel 

 sein. 



Was sie den Raum nennen wiirden, wird die 

 Kugel sein, von der sie nicht fortkonnen und auf 

 der sich alle Ereignisse abspielen, von denen sie 

 Kenntnis haben konnen. Ihr Raum wird also 

 ohne Grenzen sein, weil man auf der Kugel 

 immer vorwarts schreiten kann, ohne jemals auf- 

 gehalten zu werden und dennoch wird er e n d - 

 lich sein." 



