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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. XXI. Mr. 44 



immer der Fall, wenn wir hinlanglich kleine Ge- 

 biete im Raum betrachten. Darum bleibt die 

 euklidische Geometric, wie Cassirer sagt, ,,die 

 eigentliche Geometric unendlich kleiner Bezirke". 



Kant setzt jedoch nicht nur die absolute 

 Geltung der geometrischen Axiome voraus, son- 

 dern auch ihren synthetischen Charakter. Sie 

 sollen nicht nur iiberhaupt Urteile a priori, son- 

 dern synthetische Urteile a priori sein, die 

 nicht wie die analytischen Urteile a priori 

 auf dem Wege des logischen Schlusses nur das 

 herausholen, was in dem Hauptsatz, der Propo- 

 sitio major, schon gegeben ist, sondern unsere 

 Erkenntnis iiber das bereits Gegebene hinaus er- 

 weitern. Das ist bei den geometrischen Axiomen 

 nach Kant der Fall, weil sie aus der reinen An- 

 schauung abgeleitet sind, die reine Anschauung 

 aber ein Spiegelbild der Wirklichkeit hinsichtlich 

 ihrer raumlichen und zeitlichen Ordnung ist oder 

 vielmehr nach Kant die raumliche und zeitliche 

 Ordnung der Wirklichkeit durch sie erst her- 

 gestellt wird. 



Das ist es nun, was mit der Auffassung, die 

 sich vom Einsteinschen Standpunkt aus ergibt, 

 unvereinbar erscheint. 



Zunachst sieht man die Satze der Geometric 

 iiberhaupt nicht mehr als synthetische, sondern 

 nur noch als analytische Urteile an. In diesem 

 Punkte lafit sich die Kantsche Auffassung noch 

 rechtfertigen. Hilbert hat zwar die geome- 

 trischen Satze ausnahmslos aus seinen sogenannten 

 impliziten Definitionen abgeleitet. Der Weg, den 

 er bei seinen Deduktionen einschlagt, ist folgender. 

 Er stellt von den Grundbegriffen der Geometric 

 scheinbar willkiirliche Definitionen auf. Aus den 

 mit diesen kombinierten Definitionen gegebenen 

 Urteilen leitet er andere Urteile ab und so kommt 

 er auf dem Wege des Schlusses zu den geome- 

 trischen Satzen. Es sind das scheinbar analytische 

 Urteile, da sie auf dem Wege des Schlusses aus 

 beliebigen Definitionen gewonnen wurden. Das 

 Wunderbare aber ist, dafi die aus solchen belie- 

 bigen Definitionen abgeleiteten Satze ein so grofi- 

 artiges, in sich geschlossenes System mathema- 

 tischer Wahrheiten bilden. Die Losung des 

 Ratsels liegt darin, dafi Hilbert als Definitionen 

 der Grundbegriffe die Axiome wahlte. Waren 

 ihm nicht durch die Axiome die richtigen zu- 

 sammenstimmenden Definitionen schon an die 

 Hand gegeben gewesen, so wiirde er es wohl 

 haben unterwegen lassen mu'ssen, solche zu finden. 

 Aus den Axiomen als den Elementen der reinen 

 Anschauung lafit sich dagegen, auch wenn sie 

 nur als Definitionen verwandt werden, das System 

 der reinen Anschauung aufbauen. 



Der Unterschied zwischen Begriff und reiner 

 Anschauung, zwischen analytischen Urteilen und 

 mathematischen Satzen lafit sich, wie Kant in 

 seiner Methodenlehre hervorhebt, nicht ver- 

 wischen. 1 ) Bei dem Begriff erkennt man das 

 Besondere im Allgemcinen, bei der reinen An- 

 schauung das Allgemeine im Besonderen. Aus 



dem allgemeinen Begriff Hund kann ich schliefien, 

 dafl eine einzelne Hunderasse zu den Hunden ge- 

 hort, dagegen kann ich aus der Anschauung eines 

 Individuums der einzelnen besonderen Rasse den 

 allgemeinen Begriff des Hundes nicht ableiten. 

 Anders bei der reinen Anschauung. Aus einem 

 einzelnen beliebigen ebenen Dreieck leite ich 

 durch Konstruktion alle die Eigenschaften ab, die 

 notwendig alien ebenen Dreiecken im homogenen 

 Raum gemeinsam sind. Auch Reichenbach 

 weist auf die Tatsache hin, dafi der euklidische 

 Raum jene eigentiimliche Evidenz besitzt, der zu 

 einer Selbstverstandlichkeit seiner samtlichen 

 Axiome fuhrt. Es ist das nach ihm ein ,,noch 

 vollkommen unerklartes Phanomen". Es erklart 

 sich aber daraus, dafi die Axiome Elemente der 

 reinen Anschauung sind. Der Begriff der reinen 

 Anschauung ist natiirlich nicht mit dem naiven 

 Begriff der Anschaulichkeit zu verwechseln. Nach 

 Kant gehoren alle mathematischen Satze, auch 

 die arithmetischen, der reinen Anschauung an. 

 In dieser liegt das Prophetische der mathema- 

 tischen Satze, das auch ohne die Befruchtung 

 durch Fortschritte der empirischen Forschung 

 iiber den schon gewonnenen Standpunkt hinaus- 

 weist. Auch die nichteuklidische Geometric ging 

 aus der euklidischen Geometric hervor, indem 

 man diese nur als besonderen Fall auffafite, ohne 

 dafi die physikalischen Annahmen der Allgemeinen 

 Relativitatstheorie vorangegangen waren und den 

 Anstofi dazu gegeben hatten. 



Wenn man daher auch fortfahren kann, die 

 mathematischen Satze als synthetische, aus der 

 reinen Anschauung abgeleitete Satze zu betrachten, 

 so muS doch das Verhaltnis der reinen Anschau- 

 ung zur Erscheinungswelt, wenn die Einsteinsche 

 Allgemeine Relativitatstheorie gilt, anders sein als 

 Kant annahm. 



Um das klar zu erkennen, mufi man den Aus- 

 gangspunkt seiner ganzen kritischen Stellung ins 

 Auge fassen. 



Kant ging in der Kritik der reinen Vernunft 

 von den synthetischen Urteilen a priori aus. Ihre 

 Existenz nahrn er als ervviesen an. Was ihn be- 

 schaftigte, war daher nicht die Frage, ob solche 

 synthetischen Urteile existieren, wohl aber die 

 Frage, wie sie iiberhaupt moglich seien. Aus der 

 Erfahrung konnen sie nicht stammen, denn durch 

 diese kommt man immer nur zu einer kompara- 

 tiven Allgemeinheit. Man mufi die allgemeinen 

 Erfahrungsurteile stets durch den Zusatz ein- 

 schranken : soweit die bisherigen Erfahrungen 

 reichen. Die analytischen allgemeinen Urteile 

 aber, d. h. die aus einem Obersatz auf logischem 

 Wege abgeleiteten allgemeinen Urteile haben wohl 

 den Charakter absoluter Allgemeinheit, doch 

 bringen sie nur logische Verhaltnisse zum Aus- 

 druck und beziehen sich nicht direkt auf die Er- 

 fahrungswelt. Wie konnen wir daher iiberhaupt 



') Vgl. H. Kranichfeld , Ein Lehrbuch der Philosophic 

 fur Naturforscher. Naturw. Wochenschr. 1920, S. 536. 



