Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



Neue Folge 17. Band; 

 der ganzen Reihe 33. Band. 



Sonntag, den 2. Juni 1918. 



Nummer 



Warum ist der regelmafiige (platonische) Zwolf- und Zwanzigflachner 



in der Kristallwelt iminoglich? 



]Nachdruck verboten.] 



Von W. Eitel, Frankfurt a. M. 

 Mil 1 6 Abbildungen im Text. 



Es soil in den folgenden Zeilen versucht werden, 

 auf moglichst einfache und anschauliche Weise 

 die interessante Tatsache zu erklaren, daS gerade 

 unter den regelmafiigsten Gebilden, welohe die 

 mathematische Raumlehre (Stereometric) kennt, 

 einige als Kristallformen durchaus unmoglich sind, 

 also deshalb im Mineralreich nicht vorkommen 

 konnen. 



Ein Vielflachner, in dem alle Kanten- und 

 Flachenwinkel einander gleich sind, alle Begren- 



Al)li. I. Tetraedrr. 



Abb. 2. Oktacder. 



zungsflachen kongruente Umrififiguren zeigen, 

 nennen wir einen regelmafiigen Korper. Nach 

 einem grundlegenden Lehrsatze der Stereometric 

 mufl die Summe der Seitenwinkel einer raumlichen 

 Ecke stets kleiner als 360 sein; wenn wir regel- 

 mafiige Vielecke zu korperlichen Ecken zusammen- 

 setzen wollen, miissen wir diesen Satz beriick- 

 sichtigen. Ein regelmafiiges n-Eck hat bekannt- 

 lich Seitenwinkel von der Grofie 180 4/n-9O. 

 Im Falle eines regelmafiigen Dreiecks mit dem 

 Winkel a = 60 konnen wir nach dem Gesagten 



nur drei-, vier- oder funfseitige Ecken bilden 

 es ist aber unmoglich, sechs- oder mehrseitige 

 Ecken zu konstruieren. Die Seitenwinkel eines 

 regelmafiigen Vierecks (Quadrates) sind a = 90, 

 es ist also nur eine dreiseitige Ecke mit quadra- 

 tischen Seitenflachen moglich. Ebenso kann man 

 aus regelmafiigen Fiinfecken ( = 108 ) zwar noch 

 eine dreiseitige Ecke, aber keine mehrseitige bilden. 

 RegelmaBige Sechs-, Sieben- usw. Ecke lassen sich 

 nicht einmal mehr zu einer dreiseitigen raumlichen 

 zusammensetzen. Es kann also i. nur solche 

 regelmaSige Vielflachner geben, welche von regel- 



Abb.l a. Abb. I b. 



JL. Tetraeder, gesehen in Kichtung einer 3 zalil. S.-A. 

 b. desgl. in Rirhtung einer 2 zahl. S.-A. 



a. Oktacder, ges 



b. 



c. 



Abb. 2 a c. 



sehen in Richtung einer 4 zahl. S.-A. 

 ,, 2 



3 



mafiigen Dreiecken begrenzt sind und dreiseitige 

 Ecken bilden (Tetraeder, s. Abb. i), bzw. vierseitige 

 (Oktaeder, s. Abb. 2) oder endlich funfseitige 

 (Ikosaeder, s. Abb. 3). Oder es konnen 2. Quadrate 

 in dreiseitigen Ecken zu regelmafiigen Vielflachnern 

 zusammentreten (Hexaeder oder Wiirfel, s. Abb. 4) 

 bzw. 3. Fiinfecke (Dodekaeder, s. Abb. 5). Aufier 

 diesen fiinf bereits dem Altertum bekannten regel- 

 mafiigen Korpern, welche deshalb auch als pytha- 

 goraische oder platonische Vielflachner bezeichnet 



