N. F. XVII. Nr. 22 



Naturwissenschaftliche Wochenschnft. 



307 



werden, kann es keine regelmafiigen raumlichen 

 Gebilde geben. 



Das Tftraeder begegnet uns in den Fahlerzen, 

 das Oktaeder z. B. in den Spinellmineralien, der 

 Wiirfel im Steinsalz oder im Flufispat in der 

 Welt der Kristalle auch als naturliche Bildung. 

 Es mufi uns aber nicht wenig verwundern, dafi 

 in dieser das regelmafiige Zwanzigflach (Ikosaeder) 

 sowie das Zwolfflach (Dodekaeder) niemals in der 

 mathematisch strengen Form auftritt, sondern 

 auffallenderweise hbchstens in eigentiimlich ver- 

 zerrter Gestahung. Was ist nun der Grund fur diese 

 Naturerscheinung ? Ist es etwa ein ,,Naturgesetz", 

 welches kategorisch die Moghchkeit der erwahnten 

 mathematischen Idealgestalten in den Kristallen 

 verbietet? 



Wir wollen nunmehr die regelmafiigen mathe- 

 matischen Korper und die entsprechenden 

 kristallographischen Formen daraufhin priifen, ob 



grenzungsflachen darstellen, sondern an ihm nur 

 8 gleichseitige und 12 gleichschenklige vor- 

 kommen. Nicht minder lehrreich ist der Vergleich 

 eines mineralischen Pentagondodekaeders, wie es 

 z. B. am Schwefelkies verbreitet ist (Abb. 7), mit 

 dem piatonischen Dodekaeder. Messen wir 

 wiederum den Flachenwinkel an den dachfirst- 

 artig verlaufenden Kanten, so erhalten wir bei 

 dem ersteren denselben Wert 53 8', wahrend 

 der Mathematiker uns zeigt, dafi er am regel- 

 maBigen Korper 63 26' sein miifite. Der Unter- 

 schied zwischen den beiden Gestalten wird in 

 diesem Falle dadurch besonders deutlich, dafi die 

 vertikalen bzw. horizontalen Kanten des mine- 

 ralischen Dodekaeders langer sind als die iibrigen; 

 die den Korper begrenzenden Fiinfecke stellen 

 also gar keine regelmafiig-gleichseitigen Vielecke 

 dar. Wir ahnen bereits, dafi die mineralischen 

 Jkosaeder und Dodekaeder von den piatonischen 



Abb. 6. Zwanzigflachner des Kobaltglanzes. 



uns bestimmte Unterschiede in ihrem Aufieren 

 in die Augen fallen. Tetraeder von Fahlerz z. B. 

 zeigen uns freilich stets nurgenaudieselbenkonstan- 

 ten Kanten- und Flachenwinkel, wie diese der Mathe- 

 matiker aus raumlich-geometrischen Beziehungen 

 am idealen Tetraeder berechnet. Desgleichen finden 

 wir zwischen Oktaedern von Magnetit und dem regel- 

 mafiigen mathematischen Oktaeder nicht den ge- 

 ringsten Unterschied, ebensowenig zwischen 

 Wiirfeln aus Steinsalz oder Bleiglanz und dem 

 piatonischen Wiirfel. Betrachten wir nun aber 

 eine in der Natur vorkommende, dem Ikosaeder 

 ahnliche Gestalt (Abb. 6), wie sie z. B. bei Kristallen 

 von Kobaltglanz sich findet, so erhalten wir an dieser 

 fur den aufieren Winkel der paarweise auftretende 

 dachformigen Flachen des Kristalles, welche horizon- 

 tale oder vertikale Kanten bilden, den Wert 53 8', 

 wahrend bei einem entsprechend aufgestellten piato- 

 nischen Ikosaeder 41 49' gefunden werden miiSten. 

 Besonders fallt uns auf, dafi das mineralische Ikosa- 

 eder ganz merkwiirdige Verzerrungen enthalt, 

 dafi namlich gar nicht 20 gleichseitige Drei- 

 ecke wie beim piatonischen Korper seine Be- 



Abb. 7. Pentagondodekaeder des Schwefelkieses. 



durch einen geringeren Grad der Regelmafiigkeit, 

 der Symmetrie, sich unterscheiden miissen. Sollte 

 etwa die hohere Symmetrie der mathematischen 

 Idealgestalten der Grund dafiir sein, dafi diese in 

 der sonst so formenreichen Welt der Kristalle 

 nicht zu finden sind? Was verstehen wir iiber- 

 haupt unter Graden der Symmetrie? 



Alle symmetrischen Anordnungen, sowohl in 

 der Ebene wie auch im Raume, haben das ge- 

 meinsam, dafi bestimmte Teile derselben peri- 

 odisch, das heifit in bestimmter regelmafiiger 

 Weise sich wiederholen. Die beliebig ange- 

 ordneten Glasstiickchen im Kastchen eines Kalei- 

 doskopes wird niemand als symmetrisch geordnet 

 bezeichnen konnen. Lassen wir aber durch 

 Spiegelung an Spiegeln, die unter 45, 60, 72 

 oder 36 gegeneinander geneigt sind, in dem 

 genannten Instrumente eine periodische Wieder- 

 holung der ersten ungeordneten Systeme in die 

 Erscheinung treten (8-, 6,- 5- oder io-mal), so 

 sind wir von der hohen Symmetrie des nun sich 

 darbietenden Bildes iiberrascht. So wird man 

 auch in Abb. 8 a zunachst keinerlei Regel- 



