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Natuiwissenschaftlictie Wochenschrifl. 



N. V. XVII. Nr. 22 



mafiigkeit der durch Kreuzchen markierten Punkte 

 in ihrer Anordnung bemerken, und doch ist dic- 

 selbe in periodischer Wiederholung (Abb. 8 b) ein 

 vollendetsymmetrischesGebilde. In dem vorliegen- 

 den Falle haben wir allerdings keine Spiegelung als 



Abb. 8b. 



Ursache der Periodizitat angewandt; es ist aber 

 ohne weiteres klar, dafi eine Drehung der un- 

 symmetrischen Teilfigur um 360 um eine Achse 

 senkrecht zur Zeichenebene das gegebene Ge- 

 bilde noch funfmal in solche Lagen bringt, dafl 

 jedesmal die sich ergebende Anordnung eine 



als charakteristisches Symmetrieelement zum 

 Ausdruck gebracht wird. Eine einzahjige Dreh- 

 bewegung ist als Identitat zu bezeichnen, inter- 

 essiert uns also hier nicht weiter. Eine zwei- 

 zahlige Drehbewegungsachse (Symbol | in Abb. ga) 

 wiederholt bei einer Drehung um 36o/2=i8o" 

 die gegebene Anordnung; entsprechend eine drei- 

 zahlige (A in Fig. 9b) bei Drehung um 36o/3= 120, 

 eine vierzahlige ( in Abb. 90) bei 90, eine funf- 

 zahlige (^in Abb. gd) bei 72, eine sechszahlige 

 bei 60 ( in Abb. 9 e) usw., eine n-zahlige bei 36o/n 

 Drehung. Eine Deckbewegungsachse mit der 

 Periodeoo, bei der eine Drehung um einen un- 

 mefibar kleinen Winkel schon geniigt, eine ge- 

 gebene Anordnung zu wiederholen, nennen wir 

 eine Achse der Isotropie (von iaog = gleich 

 und rQortog = Richtung) ; da eine solche aus physi- 

 kalischen Griinden in Kristallgestalten unmoglich 

 ist, wollen wir diesen Grenzfall aufier acht lassen. 

 Selbstredend ist mit Deckbewegungen der oben 

 besprochenen Art allein, die man als solche erster 

 Art zu bezeichnen pflegt, die Moglichkeit des Auf- 

 baues symmetrischer Gebilde im Raume noch nicht 

 erschopft. Unter Deckoperationen zweiter Art 

 verstehtman diejenigen, welche nach einer Drehung 

 auch noch eine Spiegelung der gegebenen Anord- 

 nung in einer zur Achse senkrechten Ebene folgen 

 lassen. Drehen wir eine gegebene Figur im Raume 

 um eine Achse mit der Periode 36o/i und 



t 



*- 



90 



~ x 



x * 



45 



n=8 



Abb. 9. Symmetrieachsen. 



Wiederholung der primaren darstellt. Das Ganze 

 hat eine zahlenmafiig ausdriickbare Symmetrie- 

 wertigkeit bekommen; es ist z. B. ohne weiteres 

 einleuchtend, dafi in der Abb. 8b eine Sechs- 

 ziihligkeit der Drehbewegung (,,Deckbewegung") 



spiegeln sie alsdann in einer Ebene senkrecht 

 zur Achse, so haben wir praktisch nur eine Spiege- 

 lung an der genannten Ebene vorgenommen 

 (Abb. loa). Die resultierende Figur gelangt auf 

 diese Weise ebensoviel unter diese ,,Symmetrie- 



