N. F. XVTI. Nr. 22 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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ebene", wie der erstgegebene Komplex oberhalb 

 derselben gelegen ist. Die Symmetrieoperation 

 an einer Achse zweiter Art mit der Periode 360 /i 

 oder der Zahligkeit I entspricht also lediglich dem 

 Begriff einer Symmetrieebene. Ganz analog ver- 

 stehen wir leicht, dafi die Drehung eines figiir- 

 lichen Gebildes um 180, also um eine Achse 

 von der Zahligkeit 2, und eine darauffolgende 

 Spiegelung in einer zur Achse senkrecht stehenden 

 Ebene eine neue Lage derAnordnung herbeifiihren 

 mufi, die ,,zentrisch-symmetrisch" zur ersten sich 

 befindet, d. h. in der jede Linie, die entsprechende 

 Punkte beider Figuren verbindet, im Raumzentrum 

 halbiert wird (Abb. lOb). Auf mehrzahlige Sym- 

 metrieachsen zweiter Art wollen wir in Riicksicht 

 auf unser spezielles Problem nicht eingehen. 



Ehe wir im einzelnen die Symmetrie unserer 

 platonischen Korper untersuchen, wollen wir den 

 allgemeinen Abb. 8 10 noch einen praktischen 

 Sinn beilegen. Wir wollen in ihnen namlich die 

 Symmetrieverhaltnisse im Raume zum Ausdruck 

 bringen und deshalbDarstellungendervorliegenden 

 Art gleichzeitig als Projektionen korperlicher Ge- 

 bilde verwerten. Bei alien kristallographischen 

 Studien, ganz besonders auch in unserer Unter- 

 suchung, empfiehlt es sich, eine Kugel mit dem 

 Einheitsradius in oder um den zu beschreibenden 

 Kristall zu schlagen und vom Mittelpunkt derselben 

 aus auf alle Kristallflachen Lote zu fallen. Die 

 Durchstofipunkte dieser Geraden durch die Kugel- 

 oberflache, welche als Flachenpole bezeichnet 

 werden, konnen direkt als darstellende Punkte fiir 

 die zugehorigen Kristallflachen benutzt werden. 

 Wir beziehen also die komplizierte Lage der Be- 

 grenzungselemente des Kristalles auf die einfacher 

 zu behandelnde Kugelform, und konnen dann leicht 

 in Darstellungen derselben nach den Regeln der 

 Kugelprojektionen auch in der Ebene iibersicht- 

 liche Darstellungen der Kristalle erhalten. In der 

 Kristallographie hat sich besonders die stereo- 

 graphische Projektion eingebiirgert, deren 

 Prinzip in der schematischen Abb. 11 anschau- 

 lich zum Ausdruck kommt. Die Flache F eines 

 Kristalls ist auf den Pol P zu beziehen; dessen 

 Projektion auf die Aquatorialebene der Kugel als 

 Zeichenebene und mit dem Siidpol S der Kugel 

 als ,,Augenpunkt" ist n. Wir brauchen uns nur 

 noch dariiber zu einigen, wie wir Flachen F' 

 (Abb. n), deren Pole P' unterhalb der Aquatorial- 

 ebene der Kugel gelegen sind, zum Ausdruck 

 bringen wollen; behielten wir den Siidpol als 

 Augenpunkt bei, so miiSten naturgemafi 

 deren Projektionen aufierhalb des Aquator- oder 

 Grundkreises fallen, was einige Unbequemlich- 

 keiten mit sich bringt. Wir werden am besten 

 fur Pole unterhalb der Aquatorialebenene den 

 Nordpol N als Augenpunkt der Projektion 

 wahlen und die so erhaltenen Projektionen 

 (n' in Abb. u) gegeniiber den friiher besproche- 

 nen -it durch besondere Bezeichnung, etwa durch 

 kleine Kreischen o an Stelle der Kreuzchen *, 

 kennzeichnen. Auf diese Weise wird uns auch 



die raumliche Lage von Flachenkomplexen, die 

 Achsen zweiter Art als charakteristische Symmetrie- 

 elemente enthalten, wie in Abb. 10 ohne weiteres 

 verstandlich. 



Untersuchen wir nunmehr die Symmetrie des 

 einfachsten platonischen Korpers, des Tetraeders 

 (Abb. i), so kommen wir bald zu der Uberzeugung, 

 dafi diese durch das Vorhandensein einer ganzen 

 Anzahl von Symmetrieelementen erster Art be- 

 herrscht wird. Stellen wir das Tetraeder als 

 regelmafiige T dreiseitige Pyramide mit einer Flache 

 auf die Zeichenebene, so erkennen wir unmittelbar 

 Abb. i a), dafi eine dreizahlige ;Symmetrieachse) 

 senkrecht auf dieser vorhanden ist; da alle vier 



Symmetrie- 

 Ebene 



xoben ', 

 Ounten 



Symmetrie- 

 Zentrum 

 Abb. 10. 



O 



Abb. n. Prinzip der stereographiscben Projektion. 



Flachen des Tetraeders sich ebenmafiig verhalten, 

 so werden die vier Lote vom Zentrum des Korpers 

 auf diese die Eigenschaften dreizahliger Symmetrie- 

 achsen haben. Gleichzeitig sei bemerkt, dafi diese 

 Lote ,,polar" ausgebildet, d. h. dafi ihre Endigungen 

 verschieden sind (einerseits in einer Ecke, anderer- 

 seits auf einer Flache). Ein Symmetriezentrum 

 kann nicht vorhanden sein, da zu keiner Flache 

 eine parallele Gegenflache vorkommt. Wenn wir 

 des weiteren das Tetraeder so aufstellen, dafi eine 

 Kante in der Zeichenebene liegt (Abb. i b), eine 

 andere aber die erste senkrecht iiber dieser Ebene 

 kreuzt, so ist die Verbindungslinie der Kanten- 



