Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. 



. Nr. 22 



mitten eine zweizahlige Symmetrieachse. Da aber 

 ein Tetraeder sechs Kanten hat, so kann man also 

 dreimal derartige Verbindungslinien konstruieren, 

 also drei zweizahlige Achsen unterscheiden. Diese 

 stehen senkrecht aufeinander, teilen den Raum in 

 acht gleichmafiige Teile (Oktanten) und werden 

 als die kristallographischen Achsen des Tetraeders 

 bezeichnet. In mathematischem Sinne sind sie die 

 Koordinatenachsen des Raumes; wir werden sie 

 mit Vorteil auch bei den anderen platonischen 

 und mineralischen Korpern verwerten. Charakte- 

 ristisch fiir das Tetraeder sind also drei zweizahlige 

 und vier dreizahlige Symmetrieachsen ; indessen 

 konnen wir auch noch sechs Symmetrieebenen am 

 Tetraeder erkennen, welche durch je zwei drei- 

 zahlige Achsen sowie eine Achse des Koordinaten- 

 systems hindurchgehen, ein Symmetriezentrum 

 fehlt jedoch. 



Das Oktaeder (Abb. 2) fallt uns sofort da- 

 durch auf, daB bei ihm offenbar dieselben Koordi- 

 natenachsen oder kristallographischen Achsen wie 

 beim Tetraeder vorkommen, diese aber nicht zwei- 

 zahlige, sondern nunmehr vierzahlige Symmetrie- 

 achsen darstellen. In Richtung der Koordinaten- 

 achsen gesehen (Abb. 2 a) zeigt infolgedessen das 

 Oktaeder einen quadratischen UmriB mit vier 

 radial verlaufenden gleichwertigen Kanten. Legen 

 wir das Oktaeder mit einer Flache auf die Zeichen- 

 ebene (Abb. 2 c), so erkennen wir sofort, daB das 

 Lot auf diese eine dreizahlige Symmetrieachse 

 sein mufi, ganz wie dies beim Tetraeder der Fall 

 war. Die Ubereinstimmung mit diesem Korper 

 ist auch in der Anzahl dieser Achsen zu erkennen, 

 denn die vier Flachenpaare des Oktaeders bedingen 

 ebenfalls vier derartige Achsen. Bemerkenswert 

 ist nur, daB sie nicht polar sein konnen, da 

 beim Oktaeder zu jeder Flache eine Gegenflache 

 vorhanden ist, d. h. zugleich ein Symmetriezentrum 

 besteht. Eine neuartige Symmetrieeigenschaft er- 

 kennen wir am Oktaeder, wenn wir es mit einer 

 Kante auf die Zeichenebene legen und die Mitten 

 gegeniiberliegender Kanten verbinden (Abb. 2b). 

 Wie beim Tetraeder sind diese zweizahlige Sym- 

 metrieachsen ; da aber das Oktaeder zwolf Kanten 

 besitzt, miissen wir sechs derartige Achsen unter- 

 scheiden, die unter 45 gegen die Richtungen der 

 Koordinatenachsen in deren Ebenen verlaufen. 

 Drei vierzahlige, vier dreizahlige und sechs zwei- 

 zahlige Achsen bestimmen also den Symmetric- 

 charakter des Oktaeders in bezug auf Elemente 

 der ersten Art; des Weiteren konnen wir unschwer 

 einsehen, daB auch noch drei Symmetrieebenen 

 durch die Achsenebenen des Koordinatensystems 

 bestimmt werden, sowie sechs weitere Symmetrie- 

 ebenen, welche durch je eine- zwei und vierzahlige 

 Achse sowie durch zwei dreizahlige Achsen hin- 

 durchgehen. Endlich ist noch ein Zentrum der 

 Symmetrie vorhanden. 



Schreiten wir zur Betrachtung des Hexa- 

 eders (Wiirfels) fort, so ergibt sich, daB bei ihm 

 genau dieselben Symmetrieeigenschaften wie bei 

 dem Oktaeder abzuleiten sind. Der Wiirfel unter- 



scheidet sich nur dadurch von dem Oktaeder, daB 

 Flachen und Ecken beider Korper vertauscht sind, 

 d. h. in der Richtung der vierzahligen Symmetrie- 

 achse treffen wir beim Wiirfel eine Flache, beim 

 Oktaeder aber eine raumliche Ecke; in Richtung 

 einer dreizahligen Achse ist beim Oktaeder eine 

 Flache vorhanden, beim Wiirfel aber eine Ecke 

 (s. Abb. 4 a c). 



Wir wollen nun zu der Symmetrie des regel- 

 maBigen Zwanzigflachners, des Ikosaeders 

 iibergehen. In Abb. 3 ist dieser Korper so ge- 

 zeichnet, daB wir die Ubereinstimmung des in 

 ihm zugrundegelegten Koordinatensystemes mit 

 demjenigen der vorbesprochenen Korper erkennen. 

 Bemerkenswert erscheint uns, daB die kristallo- 

 graphischen Achsen beim Ikosaeder nur zwei- 

 zahlige Symmetrieachsen sein konnen, die durch 

 die Mitten zweier paralleler Kanten gehen. Nun 

 sind aber an einen platonischen Korper alle Kanten 

 durchaus gleichwertig, wir konnen also durch die 

 Mitten samtlicher 30 Kanten derartige Achsen 

 legen, das Ikosaeder hat also nicht weniger als 

 1 5 zweizahlige Symmetrieachsen. Legen wir das- 

 selbe mit einer Flache auf die Zeichenebene, so 

 ist das Lot auf diese eine dreizahlige Symmetrie- 

 achse; alle 20 Grenzflachen des Korpers sind 

 gleichwertig, also miissen 10 dreizahlige Symmetrie- 

 achsen die Mittelpunkte (Schwerpunkte) der be- 

 grenzenden gleichseitigen Dreiecke verbinden. 

 Stellen wir endlich das Ikosaeder wie in Abb. 3 a 

 so auf, daB eine Ecke in der Zeichenebene liegt, 

 die gegeniiberliegende Ecke aber iiber dieser, so 

 erkennen wir leicht, daB ihre Verbindungslinien 

 durch die Besonderheit einer Fiinfzahligkeit 

 auszgezeichnet sind. Die zwolf Ecken des Ikosa- 

 eders erfordern also sechs fiinfzahlige Symmetrie- 

 achsen als Symmetrieelemente erster Art. Ist 

 schon durch diese die Symmetrie des Korpers 

 eine sehr hohe, so wird sie noch durch das Hin- 

 zutreten von Elementen zweiter Art erhoht. 

 Durch je zwei fiinfzahlige, dreizahlige und zwei- 

 zahlige Symmetrieachsen kann man noch eine 

 Symmetrieebene legen, im ganzen also 15 der- 

 artige Ebenen unterscheiden; auBerdem ist noch 

 ein Zentrum der Symmetrie vorhanden. Im Ikosa- 

 eder erkennen wir die hochste Symmetric, die 

 eine raumliche Anordnung in einem regelmaBigen 

 Vielflachner iiberhaupt besitzen kann, wenn wir 

 nicht etwa noch Achsen der Isotropie, also 

 spharische Symmetrie beriicksichtigen wollen. 



Das regelmaBige Dodekaeder verhalt sich 

 zu dem Ikosaeder ahnlich wie der Wiirfel zum 

 Oktaeder. Dreht man das letztere um 90 um 

 eine zweizahlige Achse, so enthalt das Dodekaeder 

 in der Richtung, in welcher bei dem Ikosaeder 

 Flachen liegen, Ecken, wo dieses Ecken hat, be- 

 sitzt jenes Flachen. Die Symmetrie des Dodeka- 

 eders ist also genau dieselbe wie bei dem Ikosa- 

 eder (s. Abb. 5 u. 5 a). 



In ganz entsprechender Weise konnen wir nun 

 die Symmetrie der naturlich vorkommenden Form 

 des Penta'gondodekaeders und des mine- 



