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Naturwissenschaftlichc Wochenschrift. 



N. F. XVII. Nr. 22 



graphischer Projektion verbildlichten Symmetric 

 darstellt, daB aber das mineralische Ikosaeder gar 

 nicht selbstandig auftritt, sondern nur eine .Combi- 

 nation" der Flachen des Pentagondodekaeders und 

 des Oktaeders sein kann. Abb. 13 und 14 stellen 

 analog die Symmetric des Tetraeders, des Oktaeders 

 und Wiirfels dar, Abb. 15 endlich diejenige des 

 regelmaBigen Dodekaeders und Ikosaeders. 



Der auffalligste Unterschied des kristallo- 

 graphischen und des platonischen Dodekaeders 

 sowie der entsprechenden Zwanzigflachner besteht 

 vor allem darin, daB an den naturlich vorkommenden 

 Formen keine fiinfzahligen Symmetrie- 

 achsen auftreten. Hier liegt also recht eigentlich 

 der Kernpunkt unseres Problems; wir miissen uns 

 zunachst fragen, worin beruht iiberhaupt der Unter- 

 schied des Wesens kristallographischer Formen 

 von beliebigen mathematischen Idealgestalten ? 

 Mit Riicksicht auf unser spezielles Problem diirfte 

 es naheliegen, die angeregte Frage nicht in all- 

 gemeinster Weise zu beantworten, sondern sie nur 

 auf regelmaBige Vielflachner anzuwenden. Die 

 Achsenebenen des Koordinatensystems sind den 

 Flachen des Wiirfels parallel ; die Oktaederflachen 

 stehen senkrecht auf den raumlichen Diagonalen 

 des Wu'rfels, und ihre Lage im Raume ist be- 

 kanntlich dadurch gekennzeichnet, daB die Ent- 

 fernung des Oktaedermittelpunktes von dessen 

 Ecken eine Konstante, sagen wir a ist. Das Ver- 

 haltnis der Abschnitte auf den Koordinatenachsen 

 ist also a : a : a. Auch das Tetraeder ist fur die 

 in Abb. I angedeutete Lage einer Flache gegen 

 das Koordinatensystem durch die gleichen Ab- 

 schnitte a : a : a gekennzeichnet. Das Grundgesetz 

 der Kristallographie von Hauy sagt nun aus, daB 

 nur diejenigen Korperformen kristallographisch 

 mb'glich sind, welche ganzzahlige rationale Ver- 

 haltnisse der Achsenabschnitte bedingen. In 

 diesem Sinne ist die Form a : 2 a : a, ebenso 

 a : 3/2 a : a, auch a : oo a : oo a ( Wiirfelflache) usw. 

 kristallographisch moglich. Eine Flache des 

 naturlich vorkommenden Pentagondodekaeders ent- 

 spricht dem Achsenverhaltnis a : 2 a : oo a, wie man 

 leicht aus dem Ausgefiihrten und Abb. 7 ableiten 

 kann, eine andere ebenfalls vorkommende penta- 

 gondodekaedrische Form hatte vielleicht das charak- 

 teristische Achsenverhaltnis a : 3 a : oo a usw. Das 

 platonische Dodekaeder dagegen ist gekennzeichnet 

 durch einen auBeren Flachenwinkel von 63 26', 

 dessen cos-Funktion = y j / 5 ist. Wir erkennen 

 daraus, daB seine Tangensfunktion einen irra- 

 tionalen Wert besitzt, so daB ein irrationales Ver- 

 haltnis der Achsenabschnitte resultieren muB. 

 Dies lauft aber dem Hauy'schen Grundgesetze 

 ruwider, das platonische Dodekaeder ist also kri- 

 stallographisch unmb'glich. Ganz analog ist der 

 halbe innere Flachenwinkel des platonischen 

 Ikosaeders gegeben durch die Beziehung tg /2 = 1 J 2 

 .(3 _|_ y) = 5,2361 ... /2, also wiederum durch eine 

 irrationale Zahl, welche ein irrationales Verhaltnis 

 der Achsenabschnitte crfordert und deshalb das 



regelmaSige Ikosaeder als Kristallform unmb'glich 

 macht. 



Nicht nur durch rein gepmetrische Ober- 

 legungen kommen wir zu der Uberzeugung, daB 

 die regelmaBigen Zwblf- und Zwanzigflachner in 

 der Welt der Kristalle nicht vorkommen konnen, 

 sondern auch durch Betrachtung der Symmetrie- 

 verhaltnisse, die wir oben eingehend erlautert 

 haben. Es wird uns gelingen nachzuweisen, 

 daB fiinf-jsieben-usw. zahlige Achsen der Symmetrie 

 kristallographisch unmb'glich sind. Setzen wir 

 wiederum die Gu'ltigkeit des Hauy'schen 

 Grundgesetzes voraus; in Abb. 16 erkennen wir 

 eine n-zahlige Symmetrieachse erster Art mit 

 der charakteristischen Periode a = 36o/n. Auf 

 dieser Achse stehe die Ebene P senkrecht, in 

 der die Richtungen OR und OR' die grund- 

 legenden Koordinatenachsen neben der Achse 

 OA bestimmen. BS und BS' sind dann not- 

 wendigerweise kristallographisch mbglicheKanten, 

 ebenso SS'. Durch Drehung um OA gelangt die 

 Flache SS'B, in die Lage S'S"B', welche ebenfalls 



Abb. 16. 



kristallographisch moglich ist, wenn die Achsen- 

 abschnitte auf OR' und OR" in rationalem 

 Verhaltnis stehen. Aus dem Grundgesetz folgt 

 dann, wenn BS' und BS" mogliche Kanten 

 sind, daB auch die Ebene SS"B eine kristallo- 

 graphisch mogliche Flache vorstellen muB, d. h. 

 daB das Verhaltnis der Achsenabschnitte OS: 

 OS" : OB ein rationales sein wird. Nun ist 

 aber das Dreieck OSX kongruent dem Dreieck 

 OS"X, also der Winkel bei X in beiden ein 

 rechter; daraus folgt, daB der cos des charakte- 

 ritischen Drehungswinkels gleich ist dern. Ver- 

 haltnis OX : OS und rationalen Wert besitzen 

 miiBte. Dies ist aber mit Riicksicht darauf, dafi 



360 

 der Winkel a = einem ganzzahligen Wert n 



entsprechen soil, nur moglich, wenn cos a = + i 

 (fur a = o", n=i), -I (fu'ra= l8o, n = 2), 

 + / s (fur a = 60, n = 6), / a (fur = 120, 

 n = 3); es sind also nur ein-, zwei-, drei-, vier- 

 und sechsziihlige Symmetrieachsen kristallogra- 

 phisch moglich, es gibt keine Kris tall- 



