670 Neue Beitriige zur Musik- und Hortheorie. 



teilt den vermutliclien Endgliedern die Werte und oo : sind dies 

 wirklich die Endglieder, so eutsprechen die anderen Werte immer denen 

 einer Normalreihe N t N 3 , gauz selten aiich noch einzelnen Gliedern 

 der Eeihe N 4 . Stimmt diese Probe aber nicht, sondern haben die 

 Glieder auf Grund irriger Annahmen irgeudwelche andere Wertzeichen 

 erhalten, so kann man durch eine einfache algebraische Forinel die 

 Reihe immer so uniformen, dass zwei beliebige Glieder = und = co 

 werden, und nun untersuchen, ob jetzt die anderen Glieder sich einer 

 Normalreihe einftigen. 



Dies ,,Gesetz der Komplikation" gilt ausnahmslos fiir alle Kry- 

 stalle, die man in der Natur gefunden und uutersucht hat. Der zweite 

 umfaugreichste Abschuitt von ,,Harmonie und Komplikation 1 ' dient deru 

 Nachweis, dass dieselbeu Zahlenverhaltuisse auch die musikalischen 

 Harmouieu bestiuimen sollen. 



Es lassen sich inuerhalb der Grenzen, fiir die unser Ohr einge- 

 richtet ist, eine unendliche Zahl von Tonen erzeugeu. Weun die 

 Meuscheu Musik machen, so wahlen sie bestimmte haruionische Gruppeu 

 von Tb'neu aus dieser unendlichen Zahl aus, urn sie mit- oder nach- 

 eiuauder erklingen zu lassen. Jeder Ton ist durch die Zahl der 

 Schwingungeu in der Sekunde absolut bestimrnt; fiir die Harmonic ist 

 aber nur wichtigdasVerhaltnisderSchwiugungszahlenzueinander; setzen 

 wir die Schwingungszahl des Grimdtoues = 1, so hat die sogeuaunte 

 diatonische Touleiter, die den Anfang jedes Musikuuterrichtes bei uns 

 bildet, folgende Form: 



c cl e f g a h c 



7 \ 9/ 5/ 4/ s/ e; 15; o 



18 14 It la Is Is * 



Grundton Secund Terz Quart Quint Sext Septim Oktav 



Statt der Zahl der Schwingungen kouuen wir die Schwingungs- 

 dauer, oder, was auf dasselbe herauskornint, die Wellenlange zur Be- 

 zeichnung wahleu und wiirdeu dann fiir dieselbe Tonleiter die reci- 

 proken Werte 



1 \ 81 */ 3/ 21 31 8/ I/ 



Is It /* Is It lit 12 



erhalten. 



Eiue Grundthatsache der Harmonielehre ist die Gleichwertigkeit 

 von Grundton und Oktav: wir konneu jedes Musikstiick ohne weiteres 

 um eiue oder mehrere Oktaven versetzen und auch die Harmonie 

 eines Akkordes oder einer Tonfolge bleibt dieselbe, wenn einzelne 

 Tone derselben in hohere oder tiefere Oktaven versetzt werdeu; dern 

 entspricht, dass alle Tone, deren Schwingungszahlen ganze Vielfache 

 des Grundtones darstellen, musikalisch mit dem gleichen Buchstaben 

 bezeichnet werden wie dieser Grundton. 



Goldschmidt sieht deshalb Grundton und Oktav als die Eud- 

 knoten einer Normalreihe an und formt die eben wiedergegebeue Reihe 



