Neuc Beitrage zur Musik- und Hortheorie. 671 



z, die Schwingungszahlen, nach derselben Formel um, die er auf 

 krystallographische Zonen anwendet; die so erhaltenen Zahlen be- 

 zeichnet er mit p und neunt sie die harmonischeu Zahlen. Die dia- 

 toniscbe Tonleiter erhalt dadurch folgeude Form: 



cdefgahc 

 P = /T '/, '/ 2 1 2 7 oo 

 Es ergiebt sich nun, dass die Tone 



c e f g a c 



p '/j '/, 1 2 oo fur den Grundton c 

 und die Tone 



g h c d e g 



p = Va */2 1 2 QO fiir den Grundton g 



darstellen : die diatoniscbe C-dur-Tonleiter stellt daber eiue Vereiniguug 

 der harinonischen Zahlen fiir die Normalreihen N 2 auf den Grundtoueu c 

 und g dar; g hat auf dena Grundton c den Wert 1, es entspricht also 

 der Nebenflache erster Ordnung; musikalisch heifit es die Domiuaute von 

 C-dur, uud G-dur heifit die uachstverwandte Tonart von C-dur ; Stiicke in 

 C-dur moduliereu am allerhaufigsteu nach G-dur. Die diatouische Ton- 

 leiter stellt also eine Vereinigung der Normalreihen N, fiir den Grund- 

 ton nnd seine Dominaute dar; aus der Normalreihe N 3 ist nur eiue 

 harmonische Zahl, ^3, mit aufgenommen worden; der reciproke Wert 3 

 (= b fiir den Grundtou c) ist nicht in der diatouischeu Tonleiter ent- 

 halten, kommt aber doch in C-dur-Stiicken an betonten Stelleu vor. 

 Die vollstandige Keihe N 3 niiisste noch 



2 / 3 und 3 / 2 



fis und as fiir C-dur 



enthalten; sie findeu in C-dur keiuen Platz, weil sie mit den wichtigercn 



Gliedern 



f g a 



J / 2 1 2 



nab benachbart sind; auch bei Krystallen kommt es vor, dass von den 

 Flachen einer Normalreihe nur ein Teil ausgebildet ist; und zwar fallen 

 danii diejenigen aus, deren Lage sehr wenig von der der benachbarteu 

 Flachen abweicht. 



Es wlirde zu weit fiihren ; versuchten wir, uns weiter so eng an 

 die Ausfiihrungen des Verfassers anzuschlieCen: er zeigt, dass die 

 Molltonarten ebenfalls harmonische Reihen darstellen, uur in falleuder 

 Harmonie, d. h. vom Grundton aus herabsteigend, im iibrigen als ge- 

 naue Spiegelbilder der Durtonarten, z. B. C-moll 



c as g f s 



o Y 3 T 2 T 2 ' 



er zeigt, dass die am haufigsteu verwendeten Akkorde sich inimer 

 durch diese wenigen harmouischen Zahlen darstelleu lasseu, dass die 



