Neue Beitrage zur Musik- und Hortheorle. 673 



sich seine Darstellung von der bisher anerkannten Musiktheorie unter- 

 scheidet. 



Dem Pythagoras vvird die Erkenntnis zugeschrieben, dass alle 

 Harmonic auf dem Verhaltnis kleiuer ganzer Zahlen beruhe. Die 

 Alten gelangten zu dieser Erkeuntnis durch das Ausmessen der Langeu 

 schwingenderSaiten; wir wissen, dass diese Regel fUr die Schwingungs- 

 zahlen oder die Wellenlange der Tone gilt. Ordnen wir alle Verbin- 

 dungen kleiner gauzer Zahleu, von den kleinsten aufsteigeud, in einer 

 Reihe, wobei wir diejenigen weglassen, die ein Verhaltnis darstellen, 

 das schon einmal da war, oder die eine Verbindung mit dem eiueu 

 Ton in hoherer Oktave wiederholen, so erhalten wir folgende Raug- 

 ordnuug der Intervalle : 



VIII. IX. X. XL XII. XIII. XIV. XV. 



7:4 7:5 7:6 8:5 8:7 9:5 9:7 9:8 



Vermind. Vermind. Vermind. Kleine UebermaU. Kleine Ueberm. Sekunde 



Septiine Quint Terz Sext Sekund Septime Terz 



Die ersten sechs Glieder dieser Reihe stellen die besten Kon- 

 sonanzen dar, dann wird die Konsonanz schlechter, mit dem 12. Glied 

 etwa beginnen die ausgesprochenen Dissonanzen. 



Durch algebraische Umformung der ersteu fiinf Glieder erhalt 

 Goldschmidt seine zweite Normalreihe 



3| 61 O 



li /a . 



p=0 V. 1 2 oo 



hier decken sich also die Rangordnung der Intervalle uach dem pytha- 

 goreischen Gesetz der kleinen Zahlen und nach dem Gesetz der Kom- 

 plikation vollstandig. Gehen wir weiter, so erhalten wir nach Pytha- 

 goras zunachst die groCe und kleine Terz, nach Goldschmidt aus 

 N 3 aber 



P=*l, z / s s / 2 3 



z = / 4 7 / 5 8 / 5 7 / 4 



mit entsprechender Umformung, also ebenfalls die grofie Terz, aber 

 weiter das 8., 9. und 11. Glied der pythagoreischen Reihe. Wollen 

 wir die kleiue Terz, die doch in der Musik eine wichtige Rolle spielt, 

 nach dem Gesetz der Komplikation rnit aufnehmen, so miissen wir die 

 Reihe N 4 anbrechen und diese enthalt unter ihren 17 Gliedern fiiuf, 

 die wie z. B. 



P = 3 /5 S /4 



111 101 



Z - /8 11 



noch tiber die obenstehenden 15 Glieder der pythagoreischen Reihe der 

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