676 Neue Beitrage zur Musik- und Hortlieorie. 



Wir haben bisher die Deutung der Harmoniegesetze uach den 

 Norm a Ire ih en der Komplikation niit der uach den Verhaltnissen 

 kleiuer Zahlen verglichen. Beide Verfahren sind so gewonnen, dass 

 an der Hand einiger unzweifelhafter Thatsachen Regeln aus ganz 

 fremdartigen Wissensgebieten anf die Musiktheorie Ubertragen wurden. 

 Von eiuer physiologischen Begriindung war bisber nicht die Rede. 



Eine solche hat Helmholtz fiir das Gesetz der kleinsten Zahlen 

 gegeben. 



Aus seinen Ausftihrungen ergiebt sich, dass alle solche Klangverbin- 

 dungen dissonant sein miissen, bei denen die Zahl der Schwebungen 

 zwischen den Grundtonen oder irgend einem Paar geuiigend starker Ober- 

 tone in der Zeiteinheit innerhalb bestimmter Grenzwerte fallt: sind sie 

 weniger zahlreich, so erkenuen wir sie als Schwebungen und die sie er- 

 zeugenden Klange siud nach der Regel der erlaubten Unreinheit noch 

 als konsonant zu betrachten; sind sie noch zahlreicher, so bilden sie 

 einen Kombinationstou uud sind nicht mehr unangenehrn. Die Grund- 

 regeln der Konsonanz, die sich daraus ergeben, stinamen mit den von 

 Goldschmidt auf eine didaktisch viel fasslichere Weise abgeleiteten 

 in der Hauptsache iiberein. Aber weiter zieht Helmholtz Folgerungen, 

 die er ini Versuche bestatigt fand, und die wir bei Goldschmidt ver- 

 misseu. Hierher gehort die Regel, dass die Zahl der gutenKonsonanzen in 

 sehr tiefer Lage kleiuer ist als in hoher, weil erstens bei tiefen Tbnen, 

 die im gleichen Verhaltnis zueinander stehen, noch keine Kombinatious- 

 tbne zu stande kommen ko'nnen, und zweitens eine grb'Cere Zahl von 

 Obertb'nen zu deutlicher Empfindung kommen als bei sehr hoheu 

 Klangen, bei denen die thatsachlich vorhaudenen Obertone bald die 

 Grenze des musikalischen Horens iiberschreiten. Weiter gehort hier- 

 her die Regel. class die Grade und Grenzen der Konsonanz fiir jedes 

 Instrument eigens bestimmt werden miissen, weil jedes Instrument eine 

 audere Klangfarbe, d. h. eine anders begrenzte und der Starke nach 

 geordnete Reihe von Obertb'nen besitzt; so klingen z. B. genau die- 

 selben Klangverbindungen in den hohen Lagen des Klaviers ertraglich, 

 welche, von Streichinstrumenten vorgetragen, schon sehr unangeuehm 

 sind, weil bei jenern durch die Dampfung die Reihe der Obertone 

 rasch abgeschnitten wird. 



Hierher gehort auch die wichtige, von Helmholtz wohl zuerst 

 ausgesprochene Regel, dass die schiirfsten Dissonanzen in der Nach- 

 barschaft der besten Kousonanzen liegen, weil hier fast alle Obertone 

 zweier Klange miteinander Schwebungen von entsprechender Haufig- 

 keit in der Zeiteinheit erzeugen; so findet Helmholtz, dass die 

 starksten Dissonanzen auCer in nachster Nachbarschaft von Grundton 

 und Oktav, zwischen Quart und Quint, Quint und Sext gelegen sind. 

 Nach Gold Schmidt's Komplikationstheorie liegen hier die zwei 

 Glieder 2 / 3 und 3 / 2 der dritten Normalreihe, die also eigentlich eine 



