N. F. XL Nr. 45 



Natunvissenschaftliche Wochenschrift. 



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wissenschaftliche Gebaude zu errichten vermogen, 

 ohne irgendeine Liicke oder eine schwache Stelle 

 zu hinterlassen. 



Es ist den scharfsinnigen Bemiihungen grofier 

 Geometer, ich nenne nur M. Pasch und D. Hil- 

 bert, gelungen, ein System von Satzen aufzu- 

 stellen, die wirklich als Axiome, als elementare, 

 voneinanderunabhangigeGrundlageneineslogischen 

 Gebaudes unserer gewohnlichen Geometric dienen 

 konnen. Das System umfafit fiinf Axiomgruppen. 1 ) 

 Die erste Gruppe enthalt die Grundforderungen 

 der Verkniipfung, die zweite diejenigen der 

 Anordnung, die dritte die Axiome der Kon- 

 gruenz, die vierte den euklidischen Paral- 

 lelensatz und die fiinfte die Axiome der 

 Stetigkeit. Der rein logische, durchaus for- 

 male Charakter des aus jenen Axiomen hervor- 

 gehenden Gebaudes spricht sich ganz besonders 

 darin aus, dafi dessen Lehrsatze von jeder line- 

 aren dreidim ensionalen Mannigfalt ig- 

 keit gelten, d. h. von jedem System von 

 Dingen, die sich zueinander verhalten wie Punkte, 

 Geraden und Ebenen, also ohne Riicksicht 

 darauf, ob man z. B. unter einer ,,Geraden" das- 

 jenige versteht, was wir urspriinglich darunter 

 kennen gelernt haben, oder dasjenige, was im 

 parabolischen Kugelgebiische als ,,Ge- 

 rade" bezeichnet wird. 2 ) 



Von aufierordentlichem Interesse ist nun die 

 Erscheinung, dafi ein Satz, den Potonie als 

 Axiom angesprochen hat, sich unter jenem System 

 von Grundforderungen gar nicht findet. Ich 

 meine den Satz, der behauptet, dafi die ge- 

 rade Linie die kiirzeste Verbindung 

 zwischen zwei Punkten ist. Kaum ein Satz 

 scheint uns so ohne weiteres einleuchtend und 

 klar zu sein als dieser. Eines Beweises scheint 

 er auch nicht zu bedurfen. Wenigstens ist in den 

 Schulbiichern nichts davon zu entdecken, ja 

 manche nennen ihn geradezu Axiom oder be- 

 nutzen ihn gar zur Definition der Geraden. 



Gewifi erscheint er uns psychologisch 

 durchaus als Axiom, und doch ist er es nicht in 

 bezug auf das Hilbertsche System. Er lafit 

 sich namlich wirklich aus dem oben angefiihrten 

 Axiomsystem ableiten ; die erste, zweite und fiinfte 

 Gruppe liefern das Material dazu. 



Er driickt sicher eine fundamentale Eigenschaft 

 der geraden Strecke aus, aber er enthalt nicht eine 

 logische Definition, sondern eine psychologi- 

 sch e, eine veranschaulichende Beschreibung. 3 ) 

 Vergleicht man mit ihm die echten Axiome 

 unserer Geometric, so wird man sich wundern, 

 auf welchen Umwegen einzelne gewonnen sind 



') D. Hilbert, Grundlagen der Geometric, Leipzig 1909' 

 '-j H. Weber und J. Wellstein, Enzyklopadie der 



Elementar-Matliematik; II. Band, J. Wellstein, ,,Grundlagen 



der Geometric", Leipzig. 



3 ) Enriques, Probleme der Wissenschaft, Leipzig 1910. 



S. 166 bis I/O. Damit braucht noch nicht behauptet zu sein, 



dafi er nicht in ein anderes logisches System als Bestandteil 



einzutreten vermbchte. 



und wie befremdend ihr Inhalt wenigstens dem 

 naiven Beurteiler -- erscheint. 



Die Raumerfahrungen liefern uns zwar eine 

 Reihe sehr einfacher, durchaus einleuchtender Be- 

 griffe und Begriffsrelationen. Aber trotzdem 

 konnen diese letzteren, so elementar sie zunachst 

 erscheinen, doch noch gemeinsame Bestandteile 

 enthalten, deren Ausschaltung erst zu den 

 eigentlich fundamentalen Satzen fiihrt. Die 

 Prozesse, die sich bei einer solchen iiberaus ver- 

 wickelten Analyse im zentralen Gebiete des Nerven- 

 systems abspielen, sind jedenfalls hb'chst wunder- 

 bare Differenzierungserscheinungen, die zur Aus- 

 bildung elementarer Funktionen von spezifischem 

 Geprage fiihren, und zwar solcher Funktionen, 

 die sich ohne gegenseitigeHemmung durch 

 blofie Superposition wieder zu Funktionen 

 hoherer Ordnung vereinigen konnen. Diesen 

 elementaren physiologischen Funktionen ent- 

 sprechen auf psychischem Gebiete oft weniger 

 einfache Anschauungen als einfache D e n k - 

 regungen. 



Zeichnet sich der Satz von der Geraden als 

 der kurzesten Verbindungslinie durch auffallende 

 Evidenz aus, so dafi an seinem axiomatischen 

 Charakter kaum gezweifelt wurde, so gait der 

 euklidische Parallelensatz, der durch einen 

 Punkt zu einer Geraden nur eine einzige 

 Parallele bestimmt sein lafit, lange als ein Satz, 

 dessen fundamentale Bedeutung fraglich war. Er 

 bereitet auch der Anschauung dadurch Unbequem- 

 lichkeit, dafi er uns zumutet, uns zwei, und nur 

 zwei, in einer Ebene liegende gerade Linien vor- 

 zustellen, die, soweit man sie auch verlangern 

 mag, sich niemals schneiden. Auch der aquiva- 

 lente Satz, dafi die Summe der Winkel im ebenen 

 Dreieck zwei Rechte betragt, steht anderen Satzen 

 an Anschaulichkeit nach. Obwohl Euklid den 

 Parallelensatz als Axiom, bzw. als Postulat 

 (a'i'ii]fta) ausgesprochen hatte, zweifelten die 

 Mathematiker bis in die Neuzeit hinein an seinem 

 fundamentalen Charakter; freilich scheiterten alle 

 Bemiihungen, ihn aus anderen, evidenteren Satzen 

 abzuleiten. Die Forschung hat aber allmahlich 

 ergeben, dafi wir in ihm tatsachlich einen Grund- 

 satz haben, eine notwendige Grundlage derjenigen 

 Geometric, die es mit unseren gelaufigsten Raum- 

 erfahrungen zu tun hat, ja dafi ihm die eigenartige 

 Bedeutung zukommt, den metrischen, aus den. 

 eigentlichen Tastempfindungen hervorgehenden 

 Raum mit dem projektivischen, aus den 

 Gesichtsempfindungen stammenden Raum zu 

 einem allgemeineren, zum euklidischen Raum 

 zu verschmelzen. 



Der unbefangene Geometer wird kein Beden- 

 ken tragen, dem Parallelensatz absolute Giiltig- 

 keit zuzuschreiben. Der erste, der es wagte, ein- 

 mal die Ungiiltigkeit desselben versuchsweise an- 

 zunehmen, war der Pater Gero lam o Saccheri 

 (1667 1733). Aber er gelangte zum Ergebnisse: 

 ,,auch unter der Voraussetzung der An- 

 nahme, dafi der Satz falsch ist, den man 



