Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. XI. Nr. 45 



beweisen will, gelangt man gleichwohl 

 zu dem SchluB, d a fi er wahr is t". G a u 6, 

 Lobatschewsky und Bolyai nahmen im An- 

 fange des 19. Jahrhunderts die Untersuchungen 

 Saccheris wieder auf und gelangten zu einem 

 abstrakten geometrischen System, das Gaufi als 

 ,,nichteuklidische Geometric" bezeichnete. R le- 

 nt an n fiigte dieser noch ein zweites System zu. 

 Die beiden nichteuklidischen Geometrien setzen 

 nicht den, dem euklidischen Parallelensatz aqui- 

 valenten Satz, dafi die Summe der Dreieckswinkel 

 = 2 R ist, voraus, sondern die eine verlangt eine 

 Summe >2R, die andere cine Summe <[ 2R. J ) 



Das Merkwiirdigste ist nun, dafi tatsachlich 

 jede dieser beiden Denkbarkeiten mit den iibrigen 

 Fundamentalsauen der Geometric einen ge- 

 schlossenen logischen Bau liefert, ja sogar, dafi 

 nicht einmal Folgerungen erwachsen, die mit den 

 Erfahrungstatsachen notwendigerweise kollidieren 

 miiSten. Man hat nur anzunehmen , dafi etwa 

 bestehende Abweichungen der Winkelsumme von 

 2R so klein sind, dafi sic sich der experimentellen 

 Beobachtung dauernd entziehen. 



Hat das Denken nun auch eine gewisse Frei- 

 heit, zwischen drei, ja zwischen noch mehr Geo- 

 metrien zu wahlen, so wird es doch immer wie- 

 der zu der euklidischen Geometric zuriick- 

 kehren. Unsere gesamte Organisation ist auf 

 diese eingestellt. Das geht schon daraus hervor, 

 dafi man erst so spat an der Giiltigkeit des 

 Parallelensatzes gezweifelt hat, wenn man auch 

 den axiomatischen Charakter desselben fur weniger 

 sicher hielt. Ferner erfordert der Ausbau einer 

 nichteuklidischen Geometric einen aufierordentlich 

 viel grofieren Aufwand an Denktatigkeiten, ohne 

 der Erforschung der Wirklichkeit einen grofieren 

 Dienst zu leisten. Die euklidische Geometric ist 

 durchaus alien Raumerfahrungen wunderbar an- 

 gepafit und das Parallelenaxiom ist, wie schon 

 hervorgehoben wurde, die einfachste Ver- 

 kniipfung zwischen der einfachsten m e t r i s c h e n 

 und der einfachsten projektiven Geometric. 

 Bei alien unseren Messungen, die die Natur des 

 Raumes feststellen wollen, setzen wir iibrigens 

 stillschweigend die Starrheit unserer bewegten 

 Mafistabe und die optische und mechanische Einzig- 

 artigkeit der geraden Linie voraus. Diese Voraus- 

 setzungen schlieSen aber bereits das euklidische 

 Parallelenaxiom in sich ein. Wiirden wir also in 

 unseren auf die Erforschung des Raumes gerich- 

 teten Messungen irgendwelche Abweichungen ent- 

 decken, so wiirden wir sie instinktiv entweder der 

 Unsicherheit unseres sinnlichen Wahrnehmens 

 oder der Ungenauigkeit der Mafistabe oder 

 dem Einflusse versteckter physikochemischer 

 Umstande zuschreiben; wir wiirden mit anderen 

 Worten niemals die Ungiiltigkeit unserer 

 euklidischen Ra umanschauu ng zur Er- 



k la rung heranzuziehen no tig haben. 1 ) 

 SchlieBlich haftet den nichteuklidischen Geome- 

 trien imrner noch eine dem Denken unbequeme 

 Vieldeutigkeit an. Natorp sieht aus die- 

 sem Grunde im euklidischen Raum eine Denk- 

 notwendigkeit fur die ein deuti ge gesetzmafiige 

 Bestimmbarkeit von Existenzin der Erfahrung. 2 ) 

 Die Untersuchung abstrakter Geometrien und 

 ihrer Beziehung zur Wirklichkeit hat ein inter- 

 essantes Ergebnis gehabt, dafi namlich die Postu- 

 late hinsichtlich ihrer Aufgabe, die Wirklichkeit 

 zu beschreiben, eine gewisse Willkiirlichkeit zeigen. 

 Poincare meint daher, jedes Postulat beruhe auf 

 Verabredung. Enriques wendet sich gegen die 

 nominalistische Auffassung des franzosischen For- 

 schers und deckt gerade an den von Poincare 

 selbst gewahlten Beispielen die Unrichtigkeit auf. 

 Enriques betont, dafi es neben Postulaten mit 

 konventionellen Elementen immer auch solche 

 gibt, denen experimentell unterscheidbare physi- 

 kalische Moglichkeiten entsprechen. Die rohen 

 Daten der Muskel-, Tast-, Gesichts- usw. Empfin- 

 dungen gestatten freilich zunachst nicht, eine ge- 

 wisse, der Auswahl der Postulate anhaftende Will- 

 kiir zu beseitigen und diesen den Charakter der 

 Exaktheit zuzusprechen. Soil es dazu kommen, 

 so bedarf es eines psychischen Entwicklungs- 

 vorganges, einer Verarbeitung und Vereinfachung 

 der Sinnesdaten, eines Assoziations- und Ab- 

 straktions prozesses. 3 ) 



Eine gewisse Ahnlichkeit mit dem euklidischen 

 Parallelensatz haben manche Grundsatze der Me- 

 chanik. Das Galileische Beharrungsgesetz zeich- 

 net sich zwar durch anschauliche Evidenz aus, 

 setzt aber der unmittelbaren Bestatigung die 

 allergrofiten Schwierigkeiten entgegen. Dafiir kann 

 die in ihm ausgesprochene Forderung dadurch 

 stets aufrecht erhalten werden, dafi man jede etwa 

 konstatierte Abweichung von ihm entweder un- 

 mittelbar auf die gegebenen Umstande oder, 

 wenn dies nicht angeht, auf unbekannte, der Er- 

 forschung noch harrende Umstande zuriickzufuhren 

 vermag. Trotzdem halt es D u h e m 4 ) nicht fur 

 ausgeschlossen, dafi ein derartiger Grundsatz inner- 

 halb des physikalischen Systems sich unbrauchbar 

 zeige, den Tatsachen also auf die Dauer nicht ge- 

 niigend angepafit sei. Es ist ja allbekannt, dafi 

 die moderne Strahlungstheorie das Prinzip der 

 Gleichheit von Aktion und Reaktion in Frage stellt. 

 Es ist schwierig, die Anteile festzustellen, die 

 Wahrnehmungs- und Denkprozesse an dem Aus- 



J ) R. Bonola und H. Liebmann, Die nichteuUlidische 

 Geometrie. Leipzig und Berlin 1908. 



') Dingier, Die Grundlagen der angewandten Geo- 

 metrie. Leipzig 1911. 



Aloys Miiller, Das Problem des absoluten Raumes 

 und seine Beziehung zum allgemeinen Raumprobleme. Braun- 

 schweig 191 1. 



F. Enriques, Probleme der Wissenschaft. Leipzig und 

 Berlin 1910. 



2 ) P. Natorp, Die logischen Grundlagen der exakten 

 Wissenschaften. Leipzig 1910. 



3 ) F. Enriques, Probleme der Wissenschaft. 



*) Duhem, Ziel und Struktur der physikalischen Theo- 

 rien. Leipzig 1908. 



