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Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



N. F. XI. Nr. 36 



gestellt. Man macht diese zunachst auf einer 

 Seite eben, stellt sie dann hochkant und 

 ebnet nun auch die Schmalflache des Parallel- 

 epipeds auf gleiche Weise. Der Schnitt dieser 

 beiden Ebenen ist die Gerade. Ebene und 

 Gerade sind in dieser Weise empirisch defi- 

 niert, einer logischen Definition sind sie ja 

 als G rundbegriffe nicht zuganglich. 



Ebene und Gerade (nebst Punkt) liefern uns 

 aber noch nicht unsere Vollgeometrie, sondern 

 nur die sogenannte synthetische Geometric. 

 Damit es zu jener komme , miissen wir zu den 

 die synthetische Geometric fundierenden Axiomen 

 noch die Kongruenzaxiome hinzufiigen. Dem 

 entspricht aber in der Praxis die Hereinziehung 

 des empirisch zu definierenden starren Kor- 

 pers. Zu solchem Zwecke nehmen wir zunachst 

 einen uns einigermafien starr erscheinenden 

 Korper aus der Umgebung heraus und erforschen 

 mit ihm, indem wir ihn zu MeSwerkzeugen man- 

 nigfaltigster Art gestalten, die Natur. Diese Tatig- 

 keit lehrt uns aber auch den ausgewahlten Kor- 

 per immer griindlicher kennen und gestattet uns, 

 ihn durch einen immer starreren Korper zu 

 ersetzen. Mit dem jeweilig ausgewahlten starren 

 Korper erforschen wir die Wirklichkeit und bauen 

 zu gleicher Zeit eine empirische Geometric auf, 

 die einer idealen sich mehr und mehr annahert. 



Indes garantiert ein starrer Korper, der nur 

 den zu den Axiomen der synthetischen Geometric 

 hinzutretenden Hilbertschen Kongruenzaxio- 

 men geniigt (ein sog. proj ekti visch starrer 

 Korper), noch nicht die Starrheit der in den 

 Kongruenzaxiomen auftretenden Strecken. Erst 

 derjenige starre Korper tut das, der auch 

 noch dem sog. archimedischen Axiom 

 und namentlich dem Parallelenaxiom ge- 

 recht wird. Ihn miissen wir also heranziehen. 



Wir stehen nun vor zweiMoglichkeiten: 



Erst ens konnen wir eine Geometric auf- 

 bauen, die direkt den empirischen starren Kor- 

 per einftihrt und aus ihm die Gerade und Ebene 

 definiert. 



Zweitens konnen wir eine Geometric auf- 

 bauen, die die empirische Ebene und Gerade 

 als Elemente einfuhrt und vom starren Kor- 

 per nur soviel hinzufugt, daS eine Uberbe- 

 stimmung ausgeschlossen ist. Dieses 

 Plus besteht fur die ebene Geometric in 

 einem festen, nicht zerfallenden Kegelschnitt, 

 fur die Raumgeometrie in einer nicht gerad- 

 linigen festen reellen Flache zweiten Gra- 

 des, logisch aber in irgendeinem Parallelen- 

 axiom. Diese Eigenart des Aufbaues erklart 

 die merkwiirdige Stellung dieses vielerorterten 

 Axiomes. 



Das Problem vom Zusammenhang der Geo- 

 metric mit der Erfahrung ist Teilproblem eines 

 allgemeineren Problems: Wie hangen unsere 

 theoretischen Wissenschaften mit der Wirklichkeit 

 zusammenf Die Verwendung der Mathematik 

 zur Erforschung der Wirklichkeit fuhrt zum Be- 



griffe der ,,angewandt en Mathematik". Wir 

 haben es also mit dem Grundproblem der ange- 

 wandten Mathematik zu tun. 



Auch so kann das Problem gestellt werden: 

 Wie erhalten wir aus der Wirklichkeit ihre G e - 

 seize? Wie kommt es, dafi wir in unseren 

 Voraussagen wie in unseren Experimenten eine 

 Herrschaft iiber die Natur gewinnen und wie 

 lassen sich voraussagende und experimentelle Be- 

 herrschung vereinigen ? 



Wirklichkeit" heifit die Gesamtheit des 

 uns in aufierer Wahrnehmung Gegebenen. In 

 ihr nehmen wir ,,Veranderungen" und ,,Gleich- 

 bleibungen" wahr, ferner ,,raumlich verschiedene 

 Gebiete"; das in einem gewissen Gebiete der 

 Wirklichkeit Wahrgenommene nennen wir einen 

 ,,Vorgang". 



Jeden Teilvorgang eines Vorganges nennen 

 wir einen ,,Umstand" desselben. Andern wir 

 einen Umstand eines Vorganges und andert sich 

 damit der Vorgang selbst, so nennen wir jenen 

 Umstand einen wesentlichen Umstand" 

 oder eine ,,Bedingung des Vorganges", 

 andernfalls einen ,,un wesentlichen" Umstand. 

 Das Aufsuchen der wesentlichen Umstande ist 

 ein Zerlegen des Vorganges in Teilvorgange. 



Die manuelle Forschung setzt nun die 

 Gultigkeit folgenden Satzes voraus, des Identi- 

 tatssatzes: 



Ein Vorgang ist identisch mit der 

 Gesamtheit seiner wesentlichen Um- 

 stande oder seiner Bedingungen. G e - 

 lingt es uns, die gleichen Bedingungen 

 herzustellen, dann haben wir auch ohne 

 weiteres den gleichen Vorgang. 



Neben der manuellen Seite haben wir die 

 logische Seite der Forschung festzustellen. 

 Als Aufgabe diene die Entwicklung einer Funk- 

 tion y = f (x) in eine Fouriersche Reihe. Denken 

 wir uns diese Entwicklung ausgefuhrt, so nennen 



wir 



f n (x) = b u -f- -Tak sin kx -f- ~ bk cos kx 



die n te Naherungsfunktion von f(x) und 

 die Kurve y = f,,(x) die n le Naherungskurve der 

 Kurve y = f(x). 



Das ,,Erklaren der Funktion f(x)" be- 

 steht nun darin, dafi ich nacheinander die einzel- 

 nen Naherungsfunktionen bilde und eventuell 

 durch die entsprechenden Kurven veranschauliche. 

 Scheint mir die n tc Naherungsfunktion die f(x) 

 noch nicht vollig darzustellen, so nenne ich meine 

 Erklarung nicht ,,falsch", sondern verbessere 

 sie, indem ich noch ein neues, ein (n^-l) tes Glied 

 hinzufiige, durch das der Fehler verringert wird. 

 Dingier bezeichnet diesen Vorgang als Ex- 

 haustion und das Prinzip, nach dem sich die 

 Exhaustion vollzieht, das Exhaustionsprinzip. 



Ist die zu entwickelnde Funktion vorgegeben 

 und handelt es sich darum, die Reihe der Glie- 

 der der Entwicklung zu bestimmen, so sprechen 

 wir von einer Analyse; soil dagegen erst durch 



