260 C4. Duncker, Regressionsgleichungen numerischer Merkmale usvv. 



1 v /x' n \ | - 1 

 = 7o ~-2< \ ' ) + 7io 

 n \8n-J n 



s/// n \8n- n s/s// 



1 ^/Xi 2 x' n \ 1 ^/xfx'iA 



--Z \ 5 - I -1- 7-10 2 I 5 I -H . . . 

 w \ / 2 s// / . \ *i s / 



Hier ist, wie leicht zii beweisen, 



-2" (x'n) = 0, 2" (a;/" a; 1 //) = 2" (y'' a;//) 

 und 



mithin 



(20 a) r/; 2 = t 7 10 /? n -f- 7 20 Au + 7 3 p An + 7>#u + 



oder, nach Substitution des rechtsseitigen Ausdrucks von (15) fur y 10 , 



(20 b) T// 2 = /3 U 2 -(- y 20 5 21 -j- 7so ^31 ~t~ 7io ^41 ~h 



Setzt man endlich die stets positive Differenz 



so erhalt man aus (20 b) den Wert 



(21) V 720 &jt + 7 3 o &ai + 740 &*i + 



mit dem wahrscheinlichen Fehler (cf. Blakeman 1905 p. 339 Glei- 



chung XXVII) 



!?(* 2\ o ; <} 1/1 25 02 2 (1 /? u 2 ) -f- ^02 



J!; V02 / ^ A 02 I/ 



^/ A-l 



Die Gleichungen (9) bis (21) gelten fiir die Regression des zweiten 

 Merkmals auf das erste; die umgekehrte Beziehung ergibt sich iiberall, 

 wie in (18 a), durch Vertauschung der Indizes der gefundenen Grofien, 

 so z. B. in 



( 21 ) V = 702 ^12 + 703 ^13 + 7 4 *U '+' 



Bei linear er Regression (Regression ersten Grades) ist 



7 2 = 7 3 = > 

 daher nach (12) 



7 (1) o = 

 und nach (15) 



Y (l \ = Pir 

 Man erhalt also aus (9) die absolute lineare Regressionsgleichung 



Bei Regression zweiten Grades, der sogen. quadratischen Re 

 gression, ist 



somit folgt aus (12) 



7 (2) o =- 



