N. F. XIV. Nr. 14 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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cos ( 1 80 s ) = cotg (90 (/>) . cotg (90 d) 



Der hieraus ermittelte Bogen ist fiir temporare 

 Stunden (von denen bekanntlich immer 12 auf 

 einen Tag und 12 auf die Nacht gehen) 6 Stunden 

 gleichzusetzen, fiir gleiche Stunden aber durch 15 

 zu dividieren. Daraus erhalt man den Zeitpunkt 

 des Untergangs oder Aufgangs der Sonne. Wie 

 wir sehen, hat Ibn lunis die Auffindung der 

 Auf- und Untergangszeit der Sonne nicht naher 

 illustriert, sondern als bekannt vorausgesetzt, sie 

 findet sich bei ihm aber im vorhergehenden 

 15. Kapitel dargelegt. 



Die Dammerung wahrt so lange, bis die Sonne 

 z. B. abends von U nach Uj gelangt ist. Zu 

 dieser Zeit gehort der Stundenwinkel 



UPUj 



1 80" s n s. 



Der Kairoaner Astronom bestimmt aber statt 

 dieses Winkels erst den Rest des Nachtstunden- 

 winkels U t PB = s, und zwar in hochst origineller 

 Weise. Diese hat ihren tieferen Grund darin, dafi 

 die Araber die Berechnung schiefwinkliger spha- 

 rischer Dreiecke vermieden und stets versuchten, 

 die gestellte Aufgabe auf die Berechnung eines 

 rechtwinkligen Dreiecks zuriickzufiihren. Um dies 

 zu erreichen, verbindet Ibn lunis den West- 

 punkt des Horizonts W (Durchschnitt des Him- 

 melsaquators QQ l mit dem Horizont) mit dem 

 Sonnenorte U 1( wo die Sonne also bereits 18 

 tief steht und die Dammerung aufhort. Da es 

 von W bis zum Meridian 90 sind, so steht der 

 verlangerte Bogen WU, in D senkrecht auf dem 

 Meridian, mithin ist Dreieck UjPD bei D recht- 

 winklig. Bogen WUj fiihrt bei Ibn lunis den 

 Namen baad und wird durch direkte Messung er- 

 mittelt. Das hierzu benutzte Instrument ist der 

 Destur. Da aber Uj unter dem Horizont liegt, 

 so muB man in diesem Falle den Bogen WU t 

 gleichen Bogen WU 2 messen. In U., steht die 

 Sonne aber, wenn ihre Hohe 18" iiber dem Hori- 

 zont und ihre Deklination denselben negativen 

 Betrag hat, der ihr am Beobachtungstag mit posi- 

 tivem Wert zukommt. (Also 1 J 2 Jahr fruher oder 

 spater.) Es ist nicht ausgeschlossen, dafi Ibn 

 lunis, um die Aufgabe zeitlich nicht auseinander- 

 zureifien, sich in U 2 eines passenden Sternes be- 

 diente. 



Mit der Kenntnis von WUj ist auch BUj = 

 90 Wl^ ==90 baad bekannt. Aus dem 

 rechtwinkligen Dreieck BPU, folgt dann 



cos (90 WUJ = sin (90 XUJ sin s 

 d. i. 



sin baad = cos 6 -sin s 

 woraus sich 



sin baad 

 sin s - 



COS 



ergibt. 



Will man Bogen UUj = AAj in modernen 

 Zeitstunden haben, so dividiert man seine Grund- 

 zahl durch 15; fiir temporare Nachtstunden ist 

 jedoch zu ermitteln, wieviel Stunden dem Bogen 

 UUj zukommen, falls auf UB deren 6 entfallen. 



Damit diirfte die lunis ische Regel zur Bestimmung 

 der Dammerung wohl geniigend illustriert sein. 



Wir wollen zum Schlufi noch die rechnerische 

 Ermittlung der Dammerungsdauer erwahnen, wie 

 sie sich bei Abul Hassan findet, der, wie wir bereits 

 wissen, den Tiefenwinkel der Sonne fiir den Beginn 

 der Morgendammerung zu 20, das Ende der 

 Abenddammerung zu 16 angibt und ausdriicklich 

 betont, dafi die Morgendammerung langer 

 dauert als die Abenddammerung. Seine 

 kurze Losung, der, wie alien seinen Vorschriften, 

 jede Spur eines Beweises fehlt, ist diese : 



,,Fiir die Morgendammerung: Ziehe jedesmal 

 vom Sinus der Meridianhohe des Nadirs der 

 Sonne den Sinus von 2O ab und teile den Rest 

 durch den Assl des Nadir; der Quotient wird der 

 Sinus versus des Stundenwinkels sein, der zwischen 

 Mitternacht und Aufgang des Morgenrotes liegt; 

 diesen ziehe man vom halben Nachtbogen ab, so 

 wird der Rest gleich dem Stundenwinkel sein, 

 der zwischen dem Beginn der Morgendammerung 

 und dem Sonnenaufgang liegt." 



Fur die Abendammerung hat man nur den Tiefen- 

 winkel h der Sonne von 20 auf 16 zu verringern. 



Die Entstehung dieser Regel kann man sich 

 etwa so denken : Wir fallen (s. Figur) von T, dem 

 Durchschnitt der den Auf- und Untergang der 

 Sonne verbindenden Linie AU mit dem Horizont 

 HHj, auf H.,H 8 , das Lot TV und nennen den 

 Durchschnitt des Parallelkreisdurchmessers BB, mit 

 dem Durchmesser des Dammerungskreises Y. Es 

 ist nun leicht zu sehen, dafi CB = CB, MBj cos d 

 = cosd ist, falls man den Radius der Himmels- 

 kugel gleich der Einheit setzt, wie das immer 

 geschieht. Dann ergibt sich auch: 



TV = sin h = sin 20 resp. sin 16 

 Aus dem rechtwinkligen Dreieck TVY liest man ab : 



sin h sin h 



-=rv>- = cos r/i also FY = - . 

 TY cos (f 



Aus dem ebenfalls rechtwinkligen Dreieck CTA folgt 

 CT = CA-cos (180 s ) = cosd. cos (180 s ), 

 und ebenso aus dem rechtwinkligen Dreieck CAjY 



CY == CAj cos s = cos d cos s. 

 Mithin ist 



CY CT = = TY = cos d [cos s cos ( 180 s,,)] 

 _ sin h 



COSf/)" 



Wir fanden aber 



cos (180 s u ) = tgf/- -tgd, 

 also lafit sich auch schreiben 



sin h . 



= cos o (cos s tg (f tg o), 



COSff 



woraus durch Auf losen folgt : 

 sin h 



Das ist 



cos s = * 



cos o cos if> 



sin h sin d sin i 

 - cos s = 



cos a cos (p 



Wenn wir zu der letzten Gleichung links und 

 rechts die Einheit addieren, folgt: 



