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Naturwissenschaftlichc Wochenschrift. 



N. F. XIV. Nr. 26 



r 2 = u - -|- v- 2 u v cos [90" (tf -)- s). = u - -(- v 2 2 u v sin (</> -|- 1) . 

 r 2 = u 2 -)- w' 2 2 u-w-cos 90" + (f/ 1 f)j u 2 -)- w a -f- 2 u-w-sin(y e) 



Subtrahiert man jetzt XIII) von XII), so erhalt man 



O = v'-' w - 2 u v sin (ff -j- f ) 2 u w sin (</> t), 



und \venn man v aus XI) entnimmt, hier einsetzt und gleich mit w hebt 



XII) 

 XIII) 



\v-cos 2 (cr t) 

 o = . w . -w 2 



u cos (<r c) sin (ff -4- e) 



-2u-sm(//-f ) 

 cos(cp-\-i.) 



fc^liminiert man aus der letzten Zeile w und geht damit in XIII) ein, so wird man unter Beachtung, 

 dafi cos~(rp f) cos' 2 (fp-\-t) = sin2ff-s'm2e, und cos (<p -f~ e) sin (9 e)-j-cos(q!! f)- sin ( </>-)-) - 

 sin2rf> ist, leicht zu der nachstehenden Schlufigleichung in u gefuhrt 



cos 2 (cp e) 

 r 2 = 4u 2 - 



sm- 2 e 



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" 



, cos(r/> ) sin (>-{-) 

 -- 



sin2t 



deren Auflosung 



r-sm 2 e 



}'4 cos(<f e) [cos (cp ) sin 2 e sin (tp -\- e)] -\- sin' 2 2 e 



XV) 



ergibt. Fur = 24; 1^ = 38" fblgt hieraus u = 

 0,565 -r; fur r= 10 cm, q = 4,35 cm, wonach also 

 die Gnomones der Zwillingssonnenuhr aus Perga- 

 mon 7,134 cm lang gewesen waren. 



Wie ist wohl der Konstrukteur dieser Uhr bei 

 der Verzeichnung des Liniennetzes praktisch ver- 

 fahren? Bei Reantwortung dieser Frage kann man 

 an zwei Moglichkeiten denken. Entweder hielt 

 der Grieche die Kurven seiner Uhr fur einfacherer 

 Art, als sie es in Wirklichkeit sind und befolgte 

 also in etwa ein Verfahren, \vie es R e h m uns 

 schildert oder aber - - und dies scheint mir das 

 Wahrscheinlichere er zeichnete die von den 



Gnomones zur Zeit der Solstitien und des Aqui- 

 noctiums erzeugten Schattenlinien einfach in die 

 Halbkugel ein, indem er eine Anzahl 1'unkte, 

 vielleicht die Punkte der ganzen temporaren 

 Stunden fiir jene Tage des Schattenweges mar- 

 kierte. So gewinnt man auch heute noch des 

 ofteren die Schattenkurven. (Siehe z. B. das in- 

 teressante Verfahren bei Hofler a. a. O. S. 141, 

 ausgefiihrt von einer Anzahl Schiiler, das- von 

 Bottcher, vgl. dessen Aufsatz: ,,Beobachtung 

 des Sonnenlaufs durch Schuler" in der Ztschr. 

 f. d. mathemat. u. naturw. Unterr., 1885, S. 165, 

 sowie das von H. M a r t u s in seiner Astronomi- 

 schen Erdkunde", 1912, S. 42 der grofien Aus- 

 gabe). Dafi man sich im Altertum neben Gno- 

 mon und Sonnenuhr noch lange der Wasser- 

 uhren zur Zeitbestimmung bediente, ist eine be- 

 kannte Tatsache; vielleicht benutzte der Grieche 

 fur die Einzeichnung der Stundenlinien eine 

 andere schon ,,richtig gehende" Sonnenuhr. Schon 

 friihe beobachteten die Griechen den Eintritt der 

 Jahreszeiten (Sonne im Widder, Krebs usw.) eifrig 



mit Astrolabium und Heliotrop. (Vgl. zu solchen 

 Fragen das immer noch sehr lesenswerte Hand- 

 buch der mathemat. und technischen Chronologic 

 von L. Ideler, Berlin 1825, I. Band, S. 227 ff., 

 ferner die klaren Ausfuhrungen von K. Manitius 

 in dem Aufsatz: ,,Sonnenbeobachtungen der Alten 

 mit Hilfe von Schattenwerfern". Weltall, 1906, 

 S. 2i9ff.). Dafi sich der Erfinder unserer Sonnen- 

 uhr der wahren Natur der Schattenkurven nicht 

 bewufit war, ist im Hinblick auf die Behandlung 

 der temporaren Stundenlinien in der griechischen 

 Gnomonik fast sicher. 



Aber auch in der Schule verdiente die Zwil- 

 lingssonnenuhr von Pergamon wohl ein Platzchen. 

 Ist es doch dringend notig, dafi wir auch im 

 mathematischen und physikalischen Unterricht 

 ofters auf die Frage eingehen : \Yie haben es in 

 diesem Fall die Alten gemacht? An unser 

 Beispiel lassen sich treft'liclie trigonometrische 

 Ubungen kniipfen. Es macht nach meinen mehr- 

 fachen Erfahrungen den Schulern der oberen 

 Klassen immer Freude, eine Sonnenuhr berechnen 

 zu konnen. Und dafi die exakte Beobachtung 

 der ,,Do[ipellinie" in den Solstitien, ja eine volt 

 standige Nachbildung eines solch eigenartigen 

 Chronometers, eine praktische Lektion ersten 

 Ranges fiir Schiilerubungen ware, brauche ich 

 kaum besonders zu betonen. Wer aber gar in 

 der Lage ist, in seiner Schule (Realgymnasium 

 und Oberrealschule) von den Lehren der dar- 

 stellenden Geometric Gebrauch machen zu konnen, 

 dem eroffnet sich die Moglichkeit einer der 

 schonsten Anwendungen auf die Durchdringung 

 zweier Fliichen oder einer Kugelflache mit einer 

 Geraden (Sonnenstrahl). 



